Calculus

Ang absolute minimum ay (9 * root3 (9)) / 26 = 0.7200290. . . na nangyayari kapag x = 9. Ang absolute maximum ay (9 * root3 (2)) / 11 = 1.030844495. . . na nangyayari kapag x = 2. Ang absolute extrema ng isang function ay ang pinakamalaking at pinakamaliit na y-halaga ng function sa isang ibinigay na domain. Ang domain na ito ay maaaring ibigay sa amin (tulad ng sa problemang ito) o maaaring ito ang domain ng function mismo. Kahit na bibigyan tayo ng domain, dapat nating isaalang-alang ang domain ng function mismo, kung sakaling hindi kasama ang anumang halaga ng domain na ibinigay sa atin. Ang f (x) ay naglalaman ng expon Magbasa nang higit pa »

Ang isang walang katapusang bilang ng mga kamag-anak extrema umiiral sa x sa [-1 / pi, 1 / pi] ay sa f (x) = + - 1 Una, let's plug ang endpoints ng agwat [-1 / pi, 1 / pi] sa ang pag-andar upang makita ang pag-uugali ng pagtatapos. f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 Susunod, tinutukoy namin ang mga kritikal na puntos sa pamamagitan ng pagtatakda ng derivative na katumbas ng zero. f (x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -sin (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / ) kasalanan (1 / x) -sin (1 / x) = 0 Sa kasamaang palad, kapag inililipat mo ang huling equation na ito, nakuha mo ang sumusunod Dahil ang graph ng derivati Magbasa nang higit pa »

Ang minimum ay 0 sa x = 0, at ang maximum ay 4 ^ 4 / e ^ 4 sa x = 4 Tandaan muna na, sa [0, oo), f ay hindi negatibo. Bukod dito, f (0) = 0 kaya dapat na ang minimum. f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x na positibo sa (0,4) at negatibong sa (4, oo). Napagpasyahan namin na f (4) ay pinakamalapit na kamag-anak. Dahil ang pag-andar ay walang iba pang mga kritikal na punto sa domain, ang kamag-anak na ito ay maximum na absolute maximum. Magbasa nang higit pa »

(x ^ 2 + 5) (2x) (x ^ 2 + 5) (2x) y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4 - kanselahin (5x ^ 2) + kanselahin (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - x ^ 2 +5) ^ 4 Magbasa nang higit pa »

Ganap na max: x = pi / 8 Ganap na min. ay nasa endpoints: x = 0, x = pi / 4 Hanapin ang unang hinangong gamit ang tuntunin ng kadena: Hayaan ang u = 2x; Hanapin ang mga kritikal na numero sa pamamagitan ng pagtatakda ng y '= 0 at kadahilanan: 2 (cos2x-sin2x) = 0 Kailan ang cosu = sinu? kung u = 45 ^ @ = pi / 4 kaya x = u / 2 = pi / 8 Hanapin ang ika-2 hinalaw: y '' = -4sin2x-4cos2x Suriin upang makita kung mayroon kang max sa pi / 8 gamit ang 2nd derivative test : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0, samakatuwid pi / 8 ay ang absolute max sa pagitan. Tingnan ang mga endpoint: y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 minimum Magbasa nang higit pa »

Minimum: f (x) = -6.237 sa x = 1.147 Maximum: f (x) = 16464 sa x = 7 Hinihiling namin na hanapin ang global minimum at maximum na halaga para sa isang function sa isang ibinigay na hanay. Upang gawin ito, kailangan nating hanapin ang mga kritikal na punto ng solusyon, na maaaring gawin sa pamamagitan ng pagkuha ng unang hinalaw at paglutas para sa x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147 na nangyayari na ang tanging kritikal na punto. Upang mahanap ang global extrema, kailangan nating hanapin ang halaga ng f (x) sa x = 0, x = 1.147, at x = 7, ayon sa ibinigay na saklaw: x = 0: f (x) = 0 x = 1.147 (x) = -6.237 x Magbasa nang higit pa »

Walang maximum. Minimum ay 0. Walang maximum Bilang xrarr0, sinxrarr0 at lnxrarr-oo, kaya lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Kaya walang maximum. Walang minimum Hayaan ang g (x) = sinx + lnx at tandaan na ang g ay patuloy sa [a, b] para sa anumang positibo a at b. g (1) = sin1> 0 "" at "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0 g ay patuloy sa [e ^ -2,1] na isang subset ng Sa pamamagitan ng intermediate value theorem, g ay may zero sa [e ^ -2,1] na isang subset ng (0,9). Ang parehong bilang ay isang zero para sa f (x) = abs ( sinx + lnx) (na dapat ay hindi negatibo para sa lahat ng x sa domain.) Magbasa nang higit pa »

X = ln (5) at x = ln (30) Sa tingin ko ang absolute extrema ay ang "pinakamalaking" isa (pinakamaliit na min o pinakamalaking max). (X) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (xcos (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx sa [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> x) - sin (x) (1 + x)) upang magkaroon ng mga pagkakaiba-iba ng f. AAx sa [ln (5), ln (30)], f '(x) <0 kaya f ay patuloy na bumababa sa [ln (5), ln (30)]. Ito ay nangangahulugan na ang mga extremas ay nasa ln (5) & ln (30). Ang max ay f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)) at min nito ay f (ln (30)) = sin (ln (30)) Magbasa nang higit pa »

Ang absolute minimum ay 0, na nangyayari sa x = 0 at x = 20. Ang absolute maximum ay 15root (3) 5, na nangyayari sa x = 5. Ang mga posibleng punto na maaaring ganap na extrema ay ang: Pag-on ng mga puntos; ibig sabihin ng mga punto kung saan ang dy / dx = 0 Ang endpoints ng pagitan Mayroon na tayong endpoints (0 at 20), kaya nahanap natin ang mga punto sa paggawa: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) 20-x)) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3) (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x Kaya mayroong punto kung saan x = 5. Nangangahulugan ito na ang 3 posibleng mga puntos na maaaring extrema : x Magbasa nang higit pa »

(X) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x) ay isang absolute maximum sa ibinigay na domain Walang pinakamaliit Ang derivative ay ibinigay sa pamamagitan ng f ' ^ 2 f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2) ) ^ 2 Ang mga kritikal na halaga ay magaganap kapag ang hinalaw ay katumbas ng 0 o hindi natukoy. Ang derivative ay hindi kailanman ay hindi natukoy (dahil e ^ (x ^ 2) at x ay patuloy na pag-andar at e ^ (x ^ 2)! = 0 para sa anumang halaga ng x.Kung kung f '(x) = 0: 0 = e (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) Tulad ng nabanggit sa itaas e ^ (x ^ 2) dalawang kritikal na numero a Magbasa nang higit pa »

Mayroong ganap na maximum na -1.718 sa x = 1 at isang absolute minimum na -5.921 sa x = ln8. Upang matukoy ang absolute extrema sa isang pagitan, dapat nating mahanap ang mga kritikal na halaga ng function na nasa pagitan ng pagitan. Pagkatapos, dapat nating subukan ang mga endpoint ng pagitan at ang mga kritikal na halaga. Ito ang mga spot kung saan maaaring matupad ang mga kritikal na halaga. Paghahanap ng mga kritikal na halaga: Ang mga kritikal na halaga ng f (x) ay nagaganap tuwing f '(x) = 0. Kaya, dapat nating hanapin ang hinalaw ng f (x). Kung ang: "" "" "" "" "" Magbasa nang higit pa »

Sa x = -1 ang minimum at sa x = 3 ang maximum. Ang f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) ay may nakatigil na mga puntos na nailalarawan sa pamamagitan ng (df) / (dx) = - ((x-3) (1 + x) x + x ^ 2) ^ 2 = 0 kaya ang mga ito ay sa x = -1 at x = 3 Ang kanilang paglalarawan ay ginawa ng pagsusuri sa signal ng (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x ((x- 3) x-9)) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 sa mga puntong iyon. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> kamag-anak na minimum (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> Naka-attach ang balangkas ng function. Magbasa nang higit pa »

Walang absolute maxima o minima, mayroon tayong maxima sa x = 16 at isang minima sa x = 0 Ang maxima ay lilitaw kung saan f '(x) = 0 at f' '(x) <0 para sa f (x) = (x (X-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8 + 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) Ito ay maliwanag na kapag x = 2 at x = 8, mayroon kaming extrema ngunit f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 at sa x = 2, f '' (x) = - 18 at sa x = 8, f '' (x) = 18 Kaya kapag x sa [ 0,16] mayroon kaming isang lokal na maxima sa x = 2 at isang lokal na minima sa x = 8 hindi isang absolute maxima o minima. Sa interval [0, Magbasa nang higit pa »

Ang absolute minimum ay -25/2 (sa x = -sqrt (25/2)). Ang absolute maximum ay 25/2 (sa x = sqrt (25/2)). f (-4) = -12 at f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (cancel (2) sqrt (25-x ^ 2) 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) Ang mga kritikal na bilang ng f ay x = -sqrt (25/2) Parehong ng mga ito ay nasa [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 Sa pamamagitan ng simetrya (f ay kakaiba), f (sqrt (25/2)) = 25/2 Buod: f (-4) = -12 f (-sqrt (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 Ang absolute minimum ay -25/2 (sa x = -sqrt ( Magbasa nang higit pa »

Walang absolute extrema sa pagitan (2, 5) Given: f (x) = x - sqrt (5x - 2) sa (2, 5) Upang makahanap ng absolute extrema kailangan naming hanapin ang unang hinalaw at isagawa ang unang hinalaw subukan upang mahanap ang anumang minimum o pinakamataas at pagkatapos ay hanapin ang mga halaga ng y sa mga end point at ihambing ang mga ito. Hanapin ang unang hinalaw: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) Hanapin ang kritikal na halaga (s) f '(x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / ( 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 Square magkabilang panig: 5x - 2 = + - 25/4 Dahil an Magbasa nang higit pa »

Absolute maximum: (5, 1/10) absolute minimum: (0, 0) Given: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "on interval" [0, 9] ang mga endpoint at paghahanap ng anumang kamag-anak maximums o minimum at paghahambing ng kanilang mga y-halaga. Suriin ang mga punto ng pagtatapos: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => Hanapin ang anumang mga kamag-anak na minimum o maximum sa pamamagitan ng pagtatakda ng f '(x) = 0. Gamitin ang quotient rule: (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 Let u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "x" = 2x f '(x) = ((x ^ 2 Magbasa nang higit pa »

Mayroong hindi ganap extrema dahil f (x) unbounded May mga lokal na extrema: LOCAL MAX: x = -1 LOCAL MIN: x = 1 INFLECTION POINT x = 0 Walang mga absolute extrema dahil lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo Maaari mong mahanap ang lokal na extrema, kung mayroon man. Upang mahanap ang f (x) extrema o kritikal na mga poit na kailangan nating kunin f '(x) Kapag ang f' (x) = 0 => f (x) ay may nakatigil na punto (MAX, min o punto ng pagbabago ng tono). Pagkatapos ay kailangan nating hanapin kapag: f '(x)> 0 => f (x) ay ang pagtaas ng f' (x) <0 => f (x) ay nagpapababa Samakatuwid: f '(x) = d / Magbasa nang higit pa »

Kailangan nating hanapin ang mga kritikal na halaga ng f (x) sa pagitan [1,4]. Kaya't kinakalkula natin ang mga pinagmulan ng unang hinalaw na kaya namin (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 Kaya f ( 2) = 5 Din namin makita ang mga halaga ng f sa endpoints kaya f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 Ang pinakamalaking halaga ng function ay sa x = 4 kaya f (4 ) = 16.5 ay ang absolute maximum na f sa [1,4] Ang pinakamaliit na halaga ng function ay sa x = 1 kaya f (1) = 3 ang absolute minimum para sa f sa [1,4] Ang graph ng f sa [1 , 4] ay Magbasa nang higit pa »

Ang absolute extrema ay maaaring mangyari sa mga hangganan, sa mga lokal na extrema, o hindi natukoy na mga punto. Hanapin natin ang mga halaga ng f (x) sa mga hangganan x = 3 at x = 7. Nagbibigay ito sa amin ng f (3) = 1 at f (7) = 7/43. Pagkatapos, hanapin ang lokal na extrema ng hinangong. Ang nanggagaling sa f (x) = x / (x ^ 2-6) ay matatagpuan gamit ang quotient rule: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) ^ 2 kung saan u = x at v = x ^ 2-6. Kaya, f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. Ang lokal na extrema ay nangyayari kapag f '(x) = 0, ngunit wala kahit saan sa x sa [3,7] ay f' (x) = 0. Pagkatapos, m Magbasa nang higit pa »

Ganap na minimum na -1 sa x = 1 at isang absolute maximum na 19 sa x = 3. Mayroong dalawang kandidato para sa ganap na extrema ng isang agwat. Ang mga ito ay ang endpoints ng pagitan (dito, 0 at 3) at ang mga kritikal na halaga ng function na matatagpuan sa loob ng agwat. Ang mga kritikal na halaga ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahanap ng derivative ng function at paghahanap para sa kung aling mga halaga ng x ito ay katumbas ng 0. Maaari naming gamitin ang tuntunin ng kapangyarihan upang malaman na ang hinalaw ng f (x) = x ^ 3-3x + 1 ay f '( x) = 3x ^ 2-3. Ang mga kritikal na halaga ay kapag 3x ^ 2-3 = 0, na pina Magbasa nang higit pa »

Lokal na Minima. ay -2187/128. Global Minima = -2187 / 128 ~ = -17.09. Global Maxima = 64. Para sa extrema, f '(x) = 0. f '(x) = (x-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (x-5) ^ 3 * 1 = (x-5) ^ 2 {3x-6 + x-5] = (4x -11) (x-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! sa [1,4], kaya hindi na kailangan para sa karagdagang cosideration & x = 11/4. (x-5) ^ 2, rArr f '' (x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (x-5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (x-5) (6x-21). Ngayon, f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, nagpapakita na, f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 / 128, ay Lokal Minima Magbasa nang higit pa »

(-4, -381) at (8,2211) Upang mahanap ang extrema, kailangan mong kunin ang hinangong ng pag-andar at hanapin ang mga pinagmulan ng hinangong. ibig sabihin, malutas ang d / dx [f (x)] = 0, gamitin ang kapangyarihan na tuntunin: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x- 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, salik sa quadratic: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 Suriin ang mga hangganan: f (-4) = -381 f (8) = 2211 Kaya ang absolute extrema ay (-4, 381) at (8,2211) Magbasa nang higit pa »

Ang absolute minimum ay 0 (sa x = 0) at absolute maximum ay 1 (sa x = 1). (x) 2-x + 1) - (x) (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) ay hindi kailanman natukoy at 0 sa x = -1 (na wala sa [0,3]) at sa x = 1. Ang pagsusulit ng endpoints ng intevral at ang kritikal na numero sa pagitan, nakita natin: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 Kaya, ang absolute minimum ay 0 (sa x = 0) at Ang absolute maximum ay 1 (sa x = 1). Magbasa nang higit pa »

Tingnan sa ibaba para sa sagot Para sa x = 0 mayroon kaming f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 Isaalang-alang namin ang isang bagong function g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR g ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR Bilang resulta g ay lumalaki sa RR. Kaya't dahil sa mahigpit na pagtaas ng g ay "1-1" (isa hanggang isa) Kaya, f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g ( 0) <=> f (0) = 0 Kailangan nating ipakita na x / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (x-0)Magbasa nang higit pa »

Tingnan sa ibaba hindi ako 100% sigurado tungkol dito, ngunit ito ang magiging sagot ko. Ang kahulugan ng isang kahit na function ay f (-x) = f (x) Samakatuwid, f (-a) = f (a). Yamang ang f (a) ay tuloy-tuloy at f (-a) = f (a), pagkatapos ay f (-a) ay tuluy-tuloy din. Magbasa nang higit pa »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Gusto kong itakda ang problema na katumbas ng y kung ito ay hindi pa. Gayundin makakatulong ito sa aming kaso na muling isulat ang problema gamit ang mga katangian ng logarithms; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Ngayon ginagawa namin ang dalawang mga pamalit upang gawing mas madaling basahin ang problema; Let's say w = cosh (lnx) at u = cosx ngayon; y = ln (w) + ln (u) ahh, maaari naming magtrabaho kasama ang :) Magsagawa ng derivative na may paggalang sa x ng magkabilang panig. (Dahil walang isa sa aming mga variable ay x ito ay pahiwatig pagkita ng kaibhan) d / dx * y = d / dx * ln (w) Magbasa nang higit pa »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Ang isang pagpapalit dito ay makakatulong nang napakalakas! Sabihin natin na x ^ (1/2) = u ngayon, y = e ^ u Alam namin na ang hinango ng e ^ x ay e ^ x kaya; dy / dx = e ^ u * (du) / dx gamit ang chain rule d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / 2sqrt (x)) Ngayon plug (du) / dx at u pabalik sa equation: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) Magbasa nang higit pa »

(1,1) at (1, -1) ang mga punto sa pagliko. 3 ^ ^ 2times (dy) / (dx) + 3xtimes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) (X + y) = 0 y = x o y = -x Sub y = x pabalik sa orihinal na equation x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 Samakatuwid (1,1) ay isa sa 2 magkabilang punto Sub y = -x pabalik sa orihinal na equation x ^ 3 + 3x * (- x ) ^ 2-x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 Samakatuwid, (1, -1) ay ang iba pang mga punto ng pagbaling ng ugat (3) 3 = 1 -root (3) 3 = - 1 Kaya nawawala mo ang punto ng pag Magbasa nang higit pa »

(0, -2) ay isang saddle point (-5,3) ay isang lokal na minimum. Kami ay binibigyan g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y Una, kailangan nating hanapin ang (delg) / (delx) at (delg) / (dely) parehong pantay 0. (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 6 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 o -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 Ang mga kritikal na punto ay nangyari sa (0, -2) at (-5,3) Ngayon para sa pag-uuri: Ang determinant ng f (x, y) ay ibinigay ng D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2 = del / (delx ^ 2 Magbasa nang higit pa »

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglalagay sa ilang mga kahulugan. Kung tumawag kami h ang taas ng kahon at x ang mas maliit na panig (kaya ang mas malaking panig ay 2x, maaari naming sabihin na dami V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 mula sa kung saan namin kunin hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 Ngayon para sa mga ibabaw (= materyal) Tuktok at ibaba: 2x * x beses 2-> Area = 4x ^ 2 Maikling panig: x * h beses 2-> Area = 2xh Long side: * h beses 2-> Area = 4xh Kabuuang lugar: A = 4x ^ 2 + 6xh Substituting para sa h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 Upang mahanap ang mini Magbasa nang higit pa »

Ang domain ng kahulugan ng: f (x) = 2x ^ 2lnx ay ang pagitan x sa (0, oo). Suriin ang una at ikalawang derivatives ng function: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 Ang mga kritikal na punto ay ang mga solusyon ng: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 at bilang x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Sa puntong ito: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 kaya ang kritikal na punto ay isang lokal na minimum. Ang mga puntod ay ang mga solusyon ng: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 at bilang f '' (x) ay nagdaragdag na monoton ma Magbasa nang higit pa »

Ang function na ito ay walang nakatigil na mga puntos (sigurado ka ba na ang f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x ang gusto mong pag-aralan ?!). Ayon sa pinaka-diffused kahulugan ng mga punto ng upuan (nakatigil point na hindi extrema), ikaw ay naghahanap para sa nakatigil na puntos ng function sa kanyang domain D = (x, y) sa RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) sa RR ^ 2}. Maaari naming muling isulat ang expression na ibinigay para sa f sa mga sumusunod na paraan: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Ang paraan upang matukoy ang mga ito ay ang paghahanap para sa mga puntos na magpawalang-bisa sa gradient ng f, na kung Magbasa nang higit pa »

("Critical Point", "Konklusyon"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "saddle"), ((-1,2) ) Ang teorya upang makilala ang extrema ng z = f (x, y) ay: Malutas ang mga kritikal na equation (bahagyang f) / (bahagyang x) = (halagang y) = 0 (ie z_x = z_y = 0) Suriin ang f_ (xx), f_ (yy) at f_ (xy) (= f_ (yx)) sa bawat isa sa mga kritikal na puntong ito . Samakatuwid suriin ang Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 sa bawat isa sa mga puntong ito Alamin ang likas na katangian ng extrema; {: (Delta> 0, "May pinakamaliit kung" f_ (xx) <0), (, "at isang maximum kung" f_ (yy)& Magbasa nang higit pa »

Mayroon tayong: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Hakbang 1 - Hanapin ang Partial Derivatives isang function ng dalawa o higit pang mga variable sa pamamagitan ng differentiating wrt isang variable, habang ang iba pang mga variable ay itinuturing bilang pare-pareho. Kaya: Ang Unang Derivatives ay: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Ang Ikalawang Derivatives (quoted) ay: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) -12sinxcos2y Ang Ikalawang Bahagyang Cross-Derivatives ay: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = = -6cosxsin2y Tandaan na ang pangalawang ba Magbasa nang higit pa »

X = pi / 2 at y = pi x = pi / 2 at y = -pi x = -pi / 2 at y = pi x = -pi / 2 at y = -pi x = pi at y = pi / 2 x = pi at y = -pi / 2 x = -pi at y = pi / 2 x = -pi at y = -pi / 2 Upang mahanap ang mga kritikal na punto ng isang 2-variable na function, kailangan mong kalkulahin ang gradient, ay isang vector na nagpapahintulot sa mga derivatibo tungkol sa bawat variable: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Kaya, mayroon tayong d / dx f (x, y) = 6cos ) sin (y), at katulad d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Upang mahanap ang mga kritikal na puntos, ang gradient ay dapat na zero vector (0,0), na nangangahulugang paglutas ng sistem Magbasa nang higit pa »

(0, 0) ang pinakamainit na f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2) kaya ang mga puntos ng sationary ay tinutukoy sa pamamagitan ng paglutas ng grad f (x, y) vec 0 o {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0):} pagbibigay ng dalawang solusyon ((x = 0, y = 0 Ang mga puntos ay kwalipikado gamit ang H = grad (grad f (x, y)) o H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) kaya H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2 )) ay may eigenvalues {-2,2}. Ang resultang ito ay kwalipikado sa punto (0,0) bilang isang saddle point. H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) ay may eigenvalues {-2 / e Magbasa nang higit pa »

Ang mga puntos (0,0), (1,0), at (0,1) ay mga punto ng saddle. Ang punto (1 / 3,1 / 3) ay isang lokal na pinakamataas na punto. Maaari naming palawakin ang f sa f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Susunod, hanapin ang mga bahagyang derivatives at itakda ang mga ito katumbas ng zero. frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { partial f} { partial y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Malinaw, (x, y) = (0,0), (1,0), at (0,1) ang mga solusyon sa sistemang ito, at sa gayon ay mga kritikal na punto ng f. Ang iba pang mga solusyon ay matatagpuan mula sa sistema 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. Ang paglutas sa unang equation Magbasa nang higit pa »

Ang isang puntong saddle ay matatagpuan sa {x = -63/725, y = -237/725} Ang mga nakapirming mga punto ay tinutukoy na paglutas para sa {x, y} grad f (x, y) = ((9 + 2 x + 27 y ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 pagkuha ng resulta {x = -63/725, y = -237/725} Ang kwalipikasyon ng nakatigil na puntong ito ay ginagawa pagkatapos na obserbahan ang mga ugat mula sa charasteristic polynomial na kaugnay sa kanyang Hessian matrix. Ang Hessian matrix ay nakuha sa paggawa ng H = grad (grad f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) na may charasteristic polynomial p (lambda) = lambda ^ 2- " lambda + det (H) = lambda ^ 2-4 lambda-725 Paglutas para sa Magbasa nang higit pa »

Wala akong nahanap na mga punto ng siyahan, ngunit may pinakamaliit: f (1/3, -2 / 3) = -1/3 Upang mahanap ang extrema, kunin ang bahagyang hinalaw na may kaugnayan sa x at y upang makita kung ang parehong bahagyang derivatives magkatulad na katumbas 0. ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 Kung magkakasabay sila ay dapat na katumbas ng 0, bumubuo ito ng isang sistema ng mga equation: 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 Ang linear na sistema ng equation, kapag binabawasan upang kanselahin ang y, ay nagbibigay ng: 3x - 1 = 0 => kulay (green) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => kulay (berde) (y = - Magbasa nang higit pa »

Tingnan ang sagot sa ibaba: 1.Thanks sa libreng software na sumusuporta sa amin sa mga graphics. http://www.geogebra.org/ 2.Thanks sa web site WolframAlpha na nagbigay sa amin ng numerong aproximate solusyon ng system na may mga implicit function. http://www.wolframalpha.com/ Magbasa nang higit pa »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 Ang formula para sa paghahanap ng dami ng isang solid na ginawa sa pamamagitan ng umiikot na isang function f sa paligid ng x-axis ay V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx Kaya para sa f (x) cotx, ang volume ng solid ng rebolusyon sa pagitan ng pi "/" 4 at pi "/" 2 ay V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi (Pi "/" 2) cot ^ 2xdx = piint_ (pi "/" 4 "^ (pi" / "2) csc ^ 2x-1dx = -pi [cotx + x] _ (pi" / "4) ^ (pi" / "2) = - pi ((0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 Magbasa nang higit pa »

Sikat na punto sa pinanggalingan. Mayroon kaming: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x At kaya nakukuha natin ang mga bahagyang derivatives. Tandaan kung bahagyang nag-iiba na tinutukoy namin ang wrt ang variable na pinag-uusapan habang tinatrato ang iba pang mga variable bilang pare-pareho. At bahagya: (bahagyang f) / (bahagyang x) = 2xy-y ^ 2 at (bahagyang f) / (bahagyang y) = x ^ 2-2yx Sa isang extrema o saddle point mayroon kami: ( bahagyang f) / (bahagyang x) = 0 at (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 simultaneously: ie isang sabay na solusyon ng: 2xy-y ^ 2 = 0 => y ( 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x Magbasa nang higit pa »

Ang punto (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) approx (1.26694,1.16437) ay isang lokal na pinakamaliit na punto. Ang unang-order na mga derivatives ay (bahagyang f) / (bahagyang x) = y-3x ^ {- 4} at (bahagyang f) / (bahagyang y) = x-2y ^ {- 3}. Ang pagtatakda ng parehong pareho sa mga zero na resulta sa sistema y = 3 / x ^ (4) at x = 2 / y ^ {3}. Subtituting ang unang equation sa pangalawang ay nagbibigay ng x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27. Dahil ang x! = 0 sa domain ng f, nagreresulta ito sa x ^ {11} = 27/2 at x = (27/2) ^ {1/11} upang y = 3 / ((27/2) ^ (4/11)) = 3 * (2/27) ^ {4/11} Ang mga parti Magbasa nang higit pa »

Mayroong isang extrema sa (3,3,27) Mayroon kaming: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y At kaya nakukuha natin ang mga bahagyang derivatives: (bahagyang f) / (bahagyang x) = y - 27 / x ^ 2 at (bahagyang f) / (bahagyang y) = x - 27 / y ^ 2 Sa isang extrema o saddle points mayroon kami: (bahagyang f) / (bahagyang x) = 0 (partial f) / (bahagyang y) = 0 simultaneously: ie isang sabay na solusyon ng: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 Ang pagbabawas ng mga equation na ito ay nagbibigay ng: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. x = 0; y = 0; x = y Maaari naming alisin ang x = 0; y = 0 at kaya x Magbasa nang higit pa »

(0,0) ay isang saddle point (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) at (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) ay lokal maxima (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) ay mga lokal na minima (0, pm 1 / sqrt 2) at (pm 1 / sqrt 2.0) ay mga punto ng pagbabago. Para sa isang pangkalahatang function F (x, y) na may nakatigil na punto sa (x_0, y_0) mayroon kaming Taylor serye pagpapalawak F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots Para sa f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) (^ ^) ^ 2 ^ y ^ 2} (del f) / (del y) = xe ^ { Magbasa nang higit pa »

Hakbang 1 - Hanapin ang Partial Derivatives Kinakalkula namin ang bahagyang derivative ng isang function ng dalawa o higit pang mga variable sa pamamagitan ng differentiating wrt isang variable, habang ang iba pang mga variable ay itinuturing bilang pare-pareho. Kaya: Ang Unang Derivatives ay: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + (^ x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) Ang Ikalawang Derivatives (sinipi) ay: f_ (xx) = -2e ^ (^ x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2 -y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (xy) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yx) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2) Magbasa nang higit pa »

Ang teorya upang makilala ang extrema ng z = f (x, y) ay: Solve nang sabay-sabay ang mga kritikal na equation (sa pamamagitan ng "Critical Point", "Konklusyon"), ((0,0,0) (partial f) / (bahagyang x) = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 (ie f_x = f_y = 0) Suriin ang f_ (xx), f_ (yy) at f_ (xy) (yx)) sa bawat isa sa mga kritikal na puntong ito. Samakatuwid suriin ang Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 sa bawat isa sa mga puntong ito Alamin ang likas na katangian ng extrema; {: (Delta> 0, "May pinakamaliit kung" f_ (xx) <0), (, "at isang maximum kung" f_ (yy)> 0), (Delta < Magbasa nang higit pa »

Laging magsimula sa isang sketch ng function sa pagitan. Sa pagitan ng [1,6], ganito ang hitsura ng graph: Tulad ng naobserbahan mula sa graph, ang pag-andar ay tumataas mula 1 hanggang 6. Kaya, walang lokal na minimum o maximum. Gayunpaman, ang absolute extrema ay umiiral sa mga endpoint ng interval: absolute minimum: f (1) = 11 absolute maximum: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60.005 umaasa na nakatulong Magbasa nang higit pa »

Max f = 1. Walang minimum. y = f (x) = 1-sqrtx. Nakapasok ang graph. Ito ay kumakatawan sa isang semi parabola, sa quadrants Q_1 at Q_4, kung saan x> = 0. Ang Max y ay nasa dulo (0, 1). Siyempre, walang minimum. Tandaan na, tulad ng x sa oo, y to -oo. Ang parent equation ay (y-1) ^ 2 = x na maaaring ihiwalay sa y = 1 + -sqrtx. graph {y + sqrtx-1 = 0 [-2.5, 2.5, -1.25, 1.25]} Magbasa nang higit pa »

May isang pandaigdigang minimum na 2 sa x = -1 at isang pandaigdigang maximum na 27 sa x = 4 sa pagitan [-2,4]. Maaaring mangyari ang extrema sa buong mundo sa isang pagitan sa isa sa dalawang lugar: sa isang endpoint o sa isang kritikal na punto sa loob ng agwat. Ang mga endpoint, na kung saan ay mayroon kaming upang subukan, ay x = -2 at x = 4. Upang mahanap ang anumang mga kritikal na punto, hanapin ang hinalaw at itakda ito katumbas sa 0. f (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 Sa pamamagitan ng kapangyarihan rule, f '(x) = 2x + 2 Pagtatakda ng katumbas ng 0, 2x + 2 = 0 "" => "" x = -1 Magbasa nang higit pa »

Ang f (x) ay may absolute maximum na -1 sa x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) ay continious sa [-oo, + oo] Dahil ang f (x) ay isang parabola Sa termino sa x ^ 2 na may isang co-coefficient, f (x) ay magkakaroon ng solong absolute maximum na kung saan f '(x) = 0 f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 Kaya: f_max = (1, -1) Ang resultang ito ay maaaring makita sa graph ng f (x) sa ibaba: graph {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5.59, -3.343, 0.554]} Magbasa nang higit pa »

X_1 = -2 ay isang maximum x_2 = 1/3 ay isang minimum. Una naming kilalanin ang mga kritikal na punto sa pamamagitan ng equating ang unang nanggagaling sa zero: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0 pagbibigay sa amin: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = -6 + - 7) / 6 x_1 = -2 at x_2 = 1/3 Ngayon pag-aralan namin ang pag-sign ng ikalawang nanggaling sa mga kritikal na punto: f '' (x) = 12x + 10 upang: 2) <0 na x_1 = -2 ay isang maximum f '' (1/3)> 0 na x_2 = 1/3 ay isang minimum. graph {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} Magbasa nang higit pa »

Ang absolute minimum sa domain ay nangyayari sa approx. (pi / 2, 3.7124), at ang absolute max sa domain ay nangyayari sa approx. (3pi / 4, 5.6544). Walang lokal na extrema. Bago kami magsimula, kailangan naming pag-aralan at makita kung ang kasalanan x ay tumatagal ng isang halaga ng 0 sa anumang punto sa pagitan. ang sin x ay zero para sa lahat ng x tulad na x = npi. Ang pi / 2 at 3pi / 4 ay parehong mas mababa kaysa pi at mas malaki kaysa sa 0pi = 0; kaya, ang kasalanan x ay hindi nakukuha sa isang halaga ng zero dito. Upang matukoy ito, isipin na ang isang matinding nangyayari alinman kung saan f '(x) = 0 (kritikal Magbasa nang higit pa »

F (x) ay may minimum sa x = 2 Bago magpatuloy, tandaan na ito ay isang paitaas na nakaharap sa parabola, ibig sabihin maaari naming malaman nang walang karagdagang pagkalkula na ito ay walang maxima, at isang solong minimum sa kanyang kaitaasan. Ang pagkumpleto ng parisukat ay magpapakita sa amin na ang f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, na nagbibigay sa kaitaasan, at kaya ang pinakamababang minimum, sa x = 2. Tingnan natin kung paano ito gagawin sa calculus. Anumang extrema ay magaganap alinman sa isang kritikal na punto o sa isang dulo ng ibinigay na agwat. Tulad ng aming ibinigay na agwat ng (-oo, oo) ay bukas, maaari naming huwa Magbasa nang higit pa »

Tingnan natin. Hayaan ang function na ibinigay y tulad na rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 Ngayon differentiating wrt x: dy / dx = -2x + 2 Ngayon ang ikalawang order derivative ay: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 Ngayon, ang pangalawang derivative order ay negatibo. Samakatuwid, ang function ay may extrema lamang at walang minima. Samakatuwid ang punto ng maxima ay -2. Ang maximum na halaga ng function ay f (-2). Sana makatulong ito:) Magbasa nang higit pa »

Tingnan natin. Hayaan ang function na ibinigay na y tulad na rarr para sa anumang halaga ng x sa ibinigay na hanay. y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:. (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -6 Ngayon, dahil ang pangalawang pagkakasunud-sunod ng derivative ng function ay negatibo, ang halaga ng f (x) ay magiging maximum. Samakatuwid, ang punto ng maxima o extrema ay maaari lamang makuha. Ngayon, kung para sa maxima o minima, dy / dx = 0: .- 6x + 30 = 0: .6x = 30: .x = 5 Samakatuwid, ang punto ng maxima ay 5. (Sagot). Kaya, ang maximum na halaga o ang matinding halaga ng f (x) ay f (5). : .f (5) = - 3. (5) ^ 2 + 30.5-74: .f ( Magbasa nang higit pa »

Ang pag-andar ay walang extrema. Hanapin ang f '(x) sa pamamagitan ng quotient rule. (x) = ((x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2 -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 Hanapin ang mga magiging punto ng function. Ang mga ito ay nangyayari kapag ang derivative ng function ay katumbas ng 0. f '(x) = 0 kapag ang numerator ay katumbas ng 0. -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' (x) ay hindi katumbas ng 0. Kaya, ang function ay walang extrema. graph {(3x) / (x ^ 2-1) [-25.66, 25.66, -12.83, 12.83]} Magbasa nang higit pa »

Ang function ay may minimum sa x = 3 kung saan f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 Ang ika-1 na hinalaw ay nagbibigay sa amin ng gradient ng linya sa isang partikular na punto. Kung ito ay isang nakatigil point na ito ay magiging zero. f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 Upang makita kung anong uri ng estadong point ang mayroon kami maaari naming subukan upang makita kung ang ika-1 ng hinalaw ay nagdaragdag o nagpapababa. Ito ay ibinigay sa pamamagitan ng pag-sign ng 2nd derivative: f '' (x) = 8 Dahil ito ay ang ve ang ika-1 ng hudyat ay dapat na pagtaas na nagpapahiwatig ng minimum para sa f (x). graph {(4x ^ 2 Magbasa nang higit pa »

Max sa x = 1 at Min x = 0 Lumabas sa derivative ng orihinal na function: f '(x) = 18x-18x ^ 2 Itakda ito ng katumbas ng 0 upang mahanap kung saan ang derivative function ay magbabago mula sa isang positibo sa isang negatibong , sasabihin nito sa amin kung kailan ang orihinal na pag-andar ay magkakaroon ng pagbabago ng slope mula sa positibo sa negatibo. 0 = 18x-18x ^ 2 Factor isang 18x mula sa equation 0 = 18x (1-x) x = 0,1 Lumikha ng linya at i-plot ang mga halaga 0 at 1 Ipasok ang mga halaga bago 0, pagkatapos ng 0, bago ang 1, at pagkatapos 1 Pagkatapos ay ipahiwatig kung ano ang mga bahagi ng lagay ng linya ay posi Magbasa nang higit pa »

Hanapin ang mga kritikal na halaga sa pagitan (kapag f '(c) = 0 o hindi umiiral). f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x Itakda f' (x) = 0. -2x = 0 x = 0 At ang f '(x) ay laging tinutukoy. Upang mahanap ang extrema, plug sa mga endpoint at ang mga kritikal na halaga. Pansinin na naaangkop sa parehong mga pamantayang ito ang 0. f (-8) = 0larr "absolute minimum" f (0) = 64larr "absolute maximum" graph {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} Magbasa nang higit pa »

F (x)> 0. Maximum f (x) isf (0) = 1. Ang x-axis ay asymptotic sa f (x), sa parehong direksyon. f (x)> 0. Paggamit ng function ng function rule, y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, sa x = 0. y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, sa x = 0. Sa x = 0, y '= 0 at y' '<0. Kaya, f (0) = 1 ang pinakamataas para sa f (x ), Kung kinakailangan,. 1 sa [-.5, a], a> 1.x = 0 ay asymptotic sa f (x), sa parehong direksyon. Tulad ng, xto + -oo, f (x) to0 Kawili-wili, ang graph ng y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) ay ang kinalit na (1 pi = 1 / sqrt (2 pi) para sa normal na pamamahagi ng probabilidad, na ma Magbasa nang higit pa »

Ang absolute minimum na -512 sa x = 8 at isang absolute maximum na 1/32 sa x = 1/16 Kapag natuklasan ang extrema sa pagitan, mayroong dalawang mga lokasyon na maaaring sila: sa isang kritikal na halaga, o sa isa sa mga endpoint ng agwat. Upang mahanap ang mga kritikal na halaga, hanapin ang hinalaw ng function at itakda ito ng katumbas ng 0. Dahil ang f (x) = - 8x ^ 2 + x, sa pamamagitan ng kapangyarihan na pamamaraang alam namin na ang f '(x) = - 16x + 1. Ang pagtatakda ng katumbas sa 0 ay umalis sa amin ng isang kritikal na halaga sa x = 1/16. Kaya, ang aming mga lokasyon para sa potensyal na maxima at minima ay sa x Magbasa nang higit pa »

X = -3 o x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 3) = 0 e ^ x (x + 3) (x + 1) = 0 e ^ x = 0 o x + 3 = 0 o x + 1 = 0 hindi posible, x = -3 o x = -1 f ( -3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 0.199-> max f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> min Magbasa nang higit pa »

Ang extrema ay nasa x = 2; na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng f '(x) = 0 f' (x) = 2x -4 = 0; Tingnan ang graph na tutulong ito. graph {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} upang malutas ang x. Karaniwan mong natagpuan ang unang hinalaw at ikalawang hinalaw upang mahanap ang extrema, ngunit sa kasong ito ito ay walang halaga ay nakikita lamang ang unang hinalaw. BAKIT? dapat mong masagot ang Given na f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 constant Ngayon itakda ang f '(x) = 0 at lutasin ang ==> x = 2 Magbasa nang higit pa »

Kung ang negatibong: f (x) = - [sin ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] x) = - 1 f ay isang pare-pareho ang function. Ito ay walang kamag-anak extrema at -1 para sa lahat ng mga halaga ng x sa pagitan ng 0 at 2pi. Magbasa nang higit pa »

Dahil ang f (x) ay naiiba sa lahat ng dako, hanapin lamang kung saan f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 gamitin ang yunit ng bilog o gumuhit ng isang graph ng parehong mga function upang matukoy kung saan sila ay pantay: Sa agwat [0,2pi], ang dalawang mga solusyon ay: x = pi / 4 (minimum) o (5pi) / 4 (pinakamataas) pag-asa na tumutulong Magbasa nang higit pa »

Ang minimum ay f (9), at ang maximum ay f (-4). f '(x) = 2x-192, kaya walang mga kritikal na numero para sa f sa pagitan ng pinili. Samakatuwid, ang pinakamaliit at maximum na nangyari sa mga endpoint. Ang f (-4) = 16 + 192 (4) +8 ay malinaw na isang positibong numero at ang f (9) = 81-192 (9) +4 ay malinaw na negatibo. Kaya, ang minimum ay f (9), at ang maximum ay f (-4). Magbasa nang higit pa »

(3,2) ay isang minimum. (1,6) at (6,11) ang pinakamataas. Ang relatibong extrema ay nangyayari kapag f '(x) = 0. Iyon ay, kapag 2x-6 = 0. ibig sabihin kapag x = 3. Upang suriin kung ang x = 3 ay isang kamag-anak na minimum o pinakamataas, napagmasid namin na ang f '' (3)> 0 at kaya => x = 3 ay kamag-anak na minimum, ibig sabihin, (3, f (3)) = (3 , 2) ay isang minimum na kamag-anak at isang absolute minimum dahil ito ay isang quadratic function. Dahil ang f (1) = 6 at f (6) = 11, nagpapahiwatig na ang (1,6) at (6,11) ay absolute maxima sa pagitan [1,6]. graph {x ^ 2-6x + 11 [-3.58, 21.73, -0.37, 12.29]} Magbasa nang higit pa »

(5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) Hanapin ang unang hinalaw: f (x) '= -2x + 5 Hanapin ang kritikal na (mga) numero: f' (x) = 0; x = 5/2 Gamitin ang ika-2 hinalaw na pagsubok upang makita kung ang kritikal na numero ay isang kamag-anak na max. o kamag-anak min .: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; kamag-anak max. sa x = 5/2 Hanapin ang y-halaga ng maximum: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 kamag-anak max sa (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) Magbasa nang higit pa »

Ang function ay may minimum sa x = 4 graph {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} Given - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 Sa x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Kaya ang function ay may minimum sa x = 4 Magbasa nang higit pa »

Ang naibigay na function ay laging nagpapababa at samakatuwid ay walang maximum o minimum Ang hinangong ng function ay y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = = (kanselahin (2x ^ 3) -6x ^ 2cancel (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 at y '<0 AA x in [4,9] Ang ibinigay na function na ang function ay palaging nagpapababa at samakatuwid ay walang pinakamataas o pinakamaliit na graph {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0.78, 17 , 4.795, 13.685]} Magbasa nang higit pa »

Mayroon kaming isang minima sa x = 0 at isang punto ng pagbabago ng tono sa x = 3 Ang maxima ay isang mataas na punto kung saan ang isang function ay tumataas at pagkatapos ay bumaba muli. Kung gayon ang slope ng tangent o ang halaga ng hinangong sa puntong iyon ay magiging zero. Dagdag pa, habang ang mga tangents sa kaliwa ng maxima ay magiging sloping paitaas, pagkatapos ay pagyupi at pagkatapos ay sloping pababa, slope ng padaplis ay patuloy na bumababa, ibig sabihin ang halaga ng ikalawang nanggaling ay magiging negatibo. Ang isang minima sa iba pang mga kamay ay isang mababang punto kung saan ang isang function ay bum Magbasa nang higit pa »

Minimum: f (-2) = 1 Pinakamataas: f (+2) = 9 Mga Hakbang: Suriin ang mga endpoint ng ibinigay na Domain f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = kulay (pula) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = kulay (pula) (9) ang Domain. Upang gawin ito hanapin ang (mga) punto sa loob ng Domain kung saan f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) " o "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~~ kulay (pula) (3.9) (at, hindi, hindi ko alam ito sa pamamagitan ng kamay) f (-sqrt (2 /3))~color(red)(~6.1) Minimum ng {kulay (pula) (1, 9, 3.9, 6.1)} = 1 sa x = -2 Pinakamataas na {kulay (pula) (1,9,3.9 , Magbasa nang higit pa »

Ang extremum ng function ay (4.5, -0.25) f (x) = (x-4) (x-5) ay maaaring isulat muli sa f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = 9x + 20. Kung derivate mo ang pag-andar, magkakaroon ka ng ganito: f '(x) = 2x - 9. Kung hindi mo gagamitin ang mga pag-andar tulad ng mga ito, tingnan ang karagdagang paglalarawan. Gusto mong malaman kung saan f '(x) = 0, dahil diyan ang gradient = 0. Ilagay f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 Pagkatapos ay ilagay ang halaga ng x sa orihinal na function. f (4.5) = (4.5-4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 Kurso sa pag-cram kung paano mag-derivate ng mga ganitong uri ng mga funct Magbasa nang higit pa »

Hanapin ang mga kritikal na halaga ng f (x) sa pagitan [0,5]. (x) = ((x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = (x ^ 2 f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 kapag x = + - 3. Ang f '(x) ay hindi kailanman natukoy. Upang mahanap ang extrema, plug sa endpoints ng pagitan at anumang kritikal na numero sa loob ng pagitan sa f (x), na kung saan, sa kasong ito, ay lamang 3. f (0) = 0larr "absolute minimum" f (3) = 1 / 6larr "absolute maximum" f (5) = 5/36 Tingnan ang isang graph: graph {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2] Magbasa nang higit pa »

Walang absolute extrema, at ang pagkakaroon ng kamag-anak extrema ay depende sa iyong kahulugan ng kamag-anak extrema. f (x) = x / (x-2) ay nagdaragdag nang walang nakatali bilang xrarr2 mula sa kanan. Iyon ay: lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo Kaya, ang function ay walang absolute maximum sa [-5,5] f bumababa nang hindi nakagapos bilang xrarr2 mula sa kaliwa, kaya walang absolute minimum na [-5 , 5]. Ngayon, ang f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 ay laging negatibo, kaya, ang pagkuha ng domain ay [-5,2] uu (2,5), ang function na bumababa sa [ 5,2) at sa (2,5) Ito ay nagsasabi sa amin na ang f (-5) ay ang pinakamalaking halaga ng f Magbasa nang higit pa »

X = + - pi / 4 para sa x sa [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) (x) = -4cos (2x) g '(x) = 0 -4cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 para sa x sa [-pi / 2, pi / 2] Magbasa nang higit pa »

Ang lokal na extrema ay x = -1 at x = 10 Ang extrema ng isang function ay matatagpuan kung saan ang unang hinalaw ay katumbas ng zero. Sa kasong ito ang pag-andar ay isang linya, kaya ang mga dulo na punto ng pag-andar sa itinakdang hanay ay ang extrema, at ang hinangong ay ang slope ng linya. Pinakamababang: (-1, -85) Pinakamataas: # (10, -30) Magbasa nang higit pa »

Ang extrema ay sa x = + - 1 at x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 Factorising h '(x) at equating ito sa zero, magiging (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 Ang mga kritikal na punto ay kaya + -1, + -sqrt (1/35) h' '( x) = 140x ^ 3-72x Para sa x = -1, h '' (x) = -68, kaya magkakaroon ng maxima sa x = -1 para sa x = 1, h '' (x) = 68, kaya magkakaroon ng minima sa x = 1 para sa x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0.6761- 12.1702 = - 11.4941, kaya magkakaroon ng maxima sa puntong ito para sa x = # -sqrt (1 / 35), h '' (x) = -0.6761 + 12.1702 = 11.4941, kay Magbasa nang higit pa »

Ang minima ay (1/4, -27 / 256) at ang maxima ay (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1 Para sa nakatigil na puntos, dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x- 1) = 0 x = 1 o x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 Pagsubok x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0 kaya, posibleng pahalang point ng inflexion (sa ang tanong na ito, hindi mo kailangang malaman kung ito ay isang pahalang na punto ng pagbaluktot) Pagsubok x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 Samakatuwid, pinakamaliit at malukong sa x = 1/4 Ngayon, sa paghahanap ng x-intercepts, hayaan y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x Magbasa nang higit pa »

Ang sagot ay: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Ito ang dahilan kung bakit: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2 (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3 ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. Magbasa nang higit pa »

Isulat namin ang f bilang f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2) ngunit lim_ (x-> oo) f (x) = oo kaya walang global extrema. Para sa lokal na extrema makikita natin ang mga punto kung saan (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) at x_2 = -sqrt (5/7) Kaya ang lokal na maximum na x = -sqrt (5/7) ay f (-sqrt (5/7) = 100/343 * sqrt (5/7) at lokal na minimum sa x = sqrt (5/7) ay f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) Magbasa nang higit pa »

Ang lokal na extrema ay (0,6) at (1 / 3,158 / 27) at ang global extrema ay + -oo Ginagamit namin ang (x ^ n) '= nx ^ (n-1) x) = 24x ^ 2-8x Para sa mga lokal na extrema f '(x) = 0 Kaya 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 at x = 1/3 Kaya gumawa ng tsart ng mga palatandaan xcolor (white) (aaaaa) -oocolor (puti) (aaaaa) 0color (puti) (aaaaa) 1 / 3color (puti) (aaaaa) + oo f ' (white) (aaaaaa) uarrcolor (white) (aaaaa) darrcolor (white) (aaaaa) uarr Kaya sa punto (0,6) mayroon kaming lokal maximum at at (1 / 3,158 / 27) Mayroon kaming isang punto sa isang punto ng inflexion f '' (x) = 48x-8 48x-8 = 0 => x = Magbasa nang higit pa »

F (x) ay may absolute minimum sa (-1.0) f (x) ay may isang lokal na maximum sa (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [x] = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = 0 Iyon ay kung saan: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 Dahil e ^ x> 0 forall x sa RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) x-1) = 0 -> x = -3 o -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) x (x ^ 2 + 6x + 7) Muli, dahil ang e ^ x> 0 kailangan lang nating subukan ang tanda ng (x ^ 2 + 6x +7) sa aming mga extrema point upang matukoy kung ang punto ay pinakamataas o pinakamaliit. Ang f (-1) ay isang minimum f '' (- 3) = e ^ -3 * ( Magbasa nang higit pa »

(0,0) ay isang lokal na minimum at (4 / 3,32 / 27) ay isang lokal na maximum. Walang global extrema. Una multiply ang mga bracket upang gawing mas madali ang pagkakaiba at kumuha ng function sa form na y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. Ngayon ang mga lokal o kamag-anak na extrema o mga punto ng pag-on ay nangyayari kapag ang derivative f '(x) = 0, samakatuwid, kapag 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 o x = 4/3. samakatuwid f (0) = 0 (2-0) = 0 at f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. Dahil ang ikalawang nanggaling na f '' (x) = 4-6x ay may mga halaga ng f '' (0) = 4> 0 at f '' (4/3) = - 4 <0 Magbasa nang higit pa »

Lokal: x = -2, 0, 2 Global: (-2, -32), (2, 32) Upang makahanap ng extrema, makakahanap ka lamang ng mga punto kung saan ang f '(x) = 0 o ay hindi natukoy. Kaya: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 Upang gawin itong problema sa panuntunan ng kapangyarihan, isusulat namin ang 48 / x bilang 48x ^ -1. Ngayon: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 Ngayon, tinatanggap natin ang hinalaw na ito. Natapos namin ang: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 Pumunta sa mga negatibong exponents sa fractions muli: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 Nakikita na natin kung saan mangyayari ang isa sa ating extrema: f '(x ) ay hindi natukoy sa x = 0, dahil sa 48 / x ^ 2. Kaya, Magbasa nang higit pa »

Ang pag-andar ay walang global extrema. Ito ay isang lokal na maximum ng f ((4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 at isang lokal na minimum ng f ((4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo kaya f ay walang pandaigdigang minimum. lim_ (xrarroo) f (x) = oo kaya f ay walang global maximum. Ang f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 ay hindi natukoy at 0 sa x = (- 4 + -sqrt31) / 3 Para sa mga numero na malayo mula sa 0 (parehong positibo at negatibo), f' (x) . Para sa mga numero sa ((-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3), 3f '(x) ay negatibo. Ang pag-sign ng f '(x) ay nagb Magbasa nang higit pa »

Lokal extrema: x = -1/3 at x = 1 Global extrema: x = + - infty Lokal extrema, tinatawag din na maxima & minima, o kung minsan kritikal na puntos, ay lamang kung ano ang tunog tulad ng: kapag ang function ay naabot ng isang maikling maximum o isang maikling minimum. Ang mga ito ay tinatawag na lokal dahil kapag naghahanap ka para sa mga kritikal na mga punto, karaniwan mong pinapahalagahan ang tungkol sa kung ano ang pinakamataas na paraan sa malapit na lugar ng punto. Ang paghahanap ng mga lokal na kritikal na punto ay medyo simple. Hanapin kung kailan ang pag-andar ay walang pagbabago, at ang pag-andar ay hindi nagbab Magbasa nang higit pa »

Upang makakuha ng mga pahalang na asymptotes dapat mong kalkulahin ang dalawang mga limitasyon nang dalawang beses. Ang iyong asymptote ay kinakatawan bilang linya f (x) = ax + b, kung saan a = lim_ (x-> infty) f (x) / xb = lim_ (x-> infty) f (x) maging calulacted sa negatibong kawalang-hanggan upang makakuha ng epekto ng resulta. Kung kailangan ng karagdagang paliwanag - sumulat sa mga komento. Gusto kong magdagdag ng halimbawa mamaya. Magbasa nang higit pa »

Sa (2, -9) May isang minima. Given - y = x ^ 2-4x-5 Hanapin ang unang dalawang derivatives dy / dx = 2x-4 Maxima at Minima ay tinutukoy ng ikalawang nanggaling. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 Sa x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 Dahil ang pangalawang hinalaw ay mas malaki kaysa sa isa. Sa (2, -9) May isang minima. Magbasa nang higit pa »

Ang f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ay isang lokal na minimum para sa x = 1 at isang lokal na maximum para sa x = 3 Mayroon kaming: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) Ang function ay tinukoy sa lahat ng RR bilang x ^ 2 + 3> 0 AA x Maaari nating tukuyin ang mga kritikal na punto sa pamamagitan ng paghahanap kung saan ang unang hinalaw ay katumbas ng zero: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - (X ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 kaya ang mga kritikal na puntos ay: x_1 = 1 at x_2 = 3 Dahil ang denamineytor ay laging positibo, ang palatandaan ng f '(x) ay kabaligtaran ng pag-sign ng Magbasa nang higit pa »

Mangyaring tingnan ang paliwanag sa ibaba Ang function ay f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 Ang mga parsyal na derivatives ay (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 Hayaan (delf) / (delx) = 0 at (delf) / (dely) = 0 Pagkatapos, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del Ang mga Hessian matrix ay Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) (x, y) = det (H (x, y)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 Samakatuwid, Walang mga puntong pang-upa. D (1,1)> 0 at (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> Magbasa nang higit pa »

Lokal maximum na 80 (sa x = -1) at lokal na minimum ng -80 (sa x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Ang mga kritikal na numero ay: -1, 0, at 1 Ang palatandaan ng mga pagbabago mula sa + hanggang - habang ipinasa natin ang x = -1, kaya f (-1) = 80 ay isang lokal na maximum (Dahil f ay kakaiba, maaari naming agad na tapusin na f (1) = - 80 ay isang kamag-anak na minimum at f (0) ay hindi isang lokal na extremum.) Ang pag-sign ng f 'ay hindi nagbabago habang ipinasa namin ang x = 0, kaya ang f (0) ay hindi isang lokal na extremum. Ang pag-sign ng f 'pagbabago mula Magbasa nang higit pa »

Lokal maximum na 13 sa 1 at lokal na minimum ng 0 sa 0. Domain ng f ay RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 at x = -1 at f' (x) ay hindi umiiral sa x = 0. Parehong -1 at 9 ay nasa domain ng f, kaya silang parehong kritikal na numero. Unang Pagsubok: Sa (-oo, -1), f '(x)> 0 (halimbawa sa x = -2 ^ 15) Sa (-1,0), f' (x) <0 (halimbawa sa x = -1 / 2 ^ 15) Samakatuwid f (-1) = 13 ay isang lokal na maximum. Sa (0, oo), f '(x)> 0 (gumamit ng anumang malaking positibong x) Kaya f (0) = 0 ay isang lokal na minimum. Magbasa nang higit pa »

Walang mga lokal na ekstrasidad sa RR ^ n para f (x) Kailangan muna nating kunin ang hinalaw ng f (x). dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 Kaya, f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 Upang malutas ang mga lokal na extremas, dapat naming itakda ang hinalaw sa 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 problema. Ito ay ang x inCC kaya ang mga lokal na extremas ay mahirap unawain. Ito ang nangyayari kapag nagsimula tayo sa mga ekspresyon ng kubiko, ang mga kumplikadong zero na ito ay maaaring mangyari sa unang pagsubok na nanggaling. Sa kasong ito, walang mga lokal na extremas sa RR ^ n Magbasa nang higit pa »

Ang pinakamataas na f ay f (5/2) = 69.25. Ang minimum f ay f (-3/2) = 11.25. d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, kapag x = 5/2 at -3/2 Ang ikalawang hinalaw ay -12x + 12 = 12 (1-x) <0 x = 5/2 at> 0 sa x = 3/2. Kaya, f (5/2) ay ang lokal (para sa wakas x) maximum at f (-3/2) ay ang lokal (para sa may hangganan x) minimum. Bilang xto oo, fto -oo at bilang xto-oo, fto + oo .. Magbasa nang higit pa »

Ang lokal na max sa x = -2 local min sa x = 4 f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x (X + 2) nagpapahiwatig f '= 0 kapag x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0 ie max f '' (4) = 36> 0 ie min ang global max min ay hinihimok ng dominanteng x ^ 3 na term kaya lim_ {x to pm oo} f (x) = pm oo dapat itong ganito ganito .. Magbasa nang higit pa »

X = {- 3,0,3} Lokal na extrema mangyari tuwing ang slope ay katumbas ng 0 kaya dapat munang hanapin ang derivative ng function, itakda ito katumbas ng 0, at pagkatapos ay malutas para sa x upang mahanap ang lahat ng x kung saan may mga lokal na extrema. Gamit ang kapangyarihan-down na tuntunin maaari naming makita na f '(x) = 8x ^ 3-72x. Ngayon itakda ito ng katumbas ng 0. 8x ^ 3-72x = 0. Upang malutas, mag-isip ng isang 8x upang makakuha ng 8x (x ^ 2-9) = 0 at pagkatapos ay gamitin ang alituntunin ng pagkakaiba ng dalawang mga parisukat na nahati x ^ 2-9 sa dalawang mga kadahilanan nito upang makakuha ng 8x (x + 3) (x Magbasa nang higit pa »

(x-3) (xb) Ang lokal na extrema ay sumusunod (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 Ngayon, kung may 0 x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]) ngunit 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (may kumplikadong mga ugat) kaya f ( x) ay may allways isang lokal na minimum at isang lokal na maximum. Pag-iisip ng isang 0 Magbasa nang higit pa »

Mayroong lokal na minimum na 0 sa 1. (Alin ang pandaigdigang.) At isang lokal na maximum na 4 / e ^ 2 sa e ^ 2. Para sa f (x) = (lnx) ^ 2 / x, tandaan muna na ang domain ng f ay ang positibong tunay na mga numero, (0, oo). Pagkatapos hanapin ang f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]) / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2. f 'ay hindi natukoy sa x = 0 na wala sa domain ng f, kaya hindi ito isang kritikal na numero para sa f. f '(x) = 0 kung saan lnx = 0 o 2-lnx = 0 x = 1 o x = e ^ 2 Subukan ang mga agwat (0,1), (1, e ^ 2), at (e ^ 2, oo ). (Para sa mga numero ng pagsubok, minumungkahi ko ang e ^ -1, e ^ 1, e Magbasa nang higit pa »