Ano ang mga extrema at mga punto ng siyahan ng f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Sagot:

Sikat na punto sa pinanggalingan.

Paliwanag:

Meron kami:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

At kaya nakukuha natin ang mga bahagyang derivatives. Tandaan kung bahagyang nag-iiba na tinutukoy namin ang wrt ang variable na pinag-uusapan habang tinatrato ang iba pang mga variable bilang pare-pareho. At kaya:

# (bahagyang f) / (bahagyang x) = 2xy-y ^ 2 # at # (bahagyang f) / (bahagyang y) = x ^ 2-2yx #

Sa isang extrema o saddle point mayroon kami:

# (bahagyang f) / (bahagyang x) = 0 # at # (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 # sabay-sabay:

i.e. isang sabay-sabay na solusyon ng:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Kaya mayroong isang kritikal na punto lamang sa pinagmulan #(0,0)#. Upang maitatag ang katangian ng kritikal na punto, ang mga analyst ng multi-variable na Taylor Series ay kinakailangan at ang mga sumusunod na mga resulta ng pagsubok:

(Partial y ^ 2) - {(bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x partial y)} ^ 2 <0 => # punto ng siyahan

Kaya't kinakalkula namin ang pangalawang bahagyang derivatives:

# (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang x ^ 2) = 2y #;# (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang y ^ 2) = -2x # at # (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x bahagyang y) = 2x-2y #

At kaya kapag # x = 0, y = 0 # makakakuha tayo ng:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Na nangangahulugan na ang pamantayan ng test ng saddle ay napapabilang at kinakailangan ang karagdagang pagtatasa. (Ito ay kadalasang kinasasangkutan ng pagtingin sa mga palatandaan ng pag-andar sa iba't ibang mga hiwa, o pagtingin sa pangatlong bahagyang pangkat na derivative na kung saan ay lampas sa saklaw ng tanong na ito!).

Maaari rin tayong tumingin sa 3D plot at gumuhit ng isang mabilis na konklusyon na ang kritikal na punto ay lumilitaw na tumutugma sa isang punto ng lagayan: