Ano ang mga extrema at mga punto ng siyahan ng f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Sagot:

# (: ("Critical Point", "Konklusyon"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "saddle"), ((-1,2), "saddle "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Paliwanag:

Ang teorya upang makilala ang extrema ng # z = f (x, y) # ay:

Malutas nang sabay-sabay ang mga kritikal na equation

# (bahagyang f) / (bahagyang x) = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 # (ibig sabihin # z_x = z_y = 0 #)
Suriin #f_ (x x), f_ (yy) at f_ (xy) (= f_ (yx)) # sa bawat isa sa mga kritikal na puntong ito. Samakatuwid suriin # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # sa bawat isa sa mga puntong ito
Tukuyin ang likas na katangian ng extrema;

# {: (Delta> 0, "May pinakamaliit kung" f_ (xx) <0), (, "at isang maximum kung" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "mayroong isang saddle point"), (Delta = 0, "Ang karagdagang pagsusuri ay kinakailangan"):} #

Kaya mayroon tayo:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Hanapin natin ang unang bahagyang derivatives:

# (bahagyang f) / (bahagyang x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (bahagyang f) / (bahagyang y) = 2xy + 2y #

Kaya ang aming mga kritikal na equation ay:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Mula sa pangalawang equation mayroon kami:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # sa Unang equation at makuha namin ang:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # sa Unang equation at makuha namin ang:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

At sa gayon ay mayroon tayo apat mga kritikal na punto na may mga coordinate;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Kaya, ngayon tingnan natin ang pangalawang bahagyang derivatives upang matukoy natin ang katangian ng mga kritikal na punto:

# (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang x ^ 2) = 12x + 10 #

# (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang y ^ 2) = 2x + 2 #

# (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang x bahagyang y) = 2y (((bahagyang ^ 2f) / (bahagyang y bahagyang x)

At dapat nating kalkulahin ang:

(Partial ^ 2f) / (bahagyang x bahagyang y)) ^ 2 #

sa bawat kritikal na punto. Ang pangalawang bahagyang mga nalikhang halaga, # Delta #, at ang konklusyon ay ang mga sumusunod:

(Bahagyang ^ 2f) / (bahagyang y ^ 2), (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang x bahagyang y), Delta, "Konklusyon"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2.0,4, lt 0, "saddle"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "saddle"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Makikita natin ang mga kritikal na puntong ito kung titingnan natin ang 3D plot: