Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Sagot:

#(0,0)# ay isang saddle point

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # at # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # ang mga lokal na maxima

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # at # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ang mga lokal na minima

# (0, pm 1 / sqrt 2) # at # (pm 1 / sqrt 2.0) # ay mga punto ng pagbabago.

Paliwanag:

Para sa isang pangkalahatang function #F (x, y) # na may nakatigil na punto sa # (x_0, y_0) # mayroon kaming pagpapalawak ng serye ng Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Para sa pag-andar

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

meron kami

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Madaling makita na ang parehong mga unang derivatives ay nawala sa mga sumusunod na ponrs

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Upang suriin ang likas na katangian ng mga nakatigil na mga puntong ito, kailangan nating tingnan ang pag-uugali ng ikalawang derivatibo doon.

Ngayon

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

at katulad nito

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

at

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Kaya para sa #(0,0)# meron kami # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # at # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - samakatuwid

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Kung lumapit ka #(0,0)# kasama ang linya # x = y #, ito ay nagiging ito

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

at iba pa #(0,0)# ay malinaw na isang minimum kung lumalapit ka mula sa direksyon na ito. Sa kabilang banda, kung lalapit ka sa linya # x = -y # meron kami

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

at iba pa #(0,0)# ay isang maximum kasama ang direksyon na ito, Kaya naman #(0,0)# ay isang punto ng siyahan.

Para sa # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # madali itong makikita

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # at # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

na nangangahulugang iyon

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)

Kaya, nababawasan ang pag-andar sa alinman sa paraan na lumilipat ka # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # at ito ay isang lokal na maximum. Ito ay madaling makita na ang parehong napupunta para sa # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (ito ay dapat na halata, dahil ang function ay mananatiling pareho sa ilalim # (x, y) hanggang (-x, -y) #!

Muli, para sa pareho # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # at # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # meron kami

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # at # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Kaya, ang parehong mga puntong ito ay lokal na minima.

Ang apat na puntos # (0, pm 1 / sqrt2) # at # (pm 1 / sqrt2, 0) # ay mas problema - dahil ang lahat ng mga ikalawang derivatives ng order ay nawala sa mga puntong ito. Dapat nating tingnan ngayon ang mas mataas na derivatives ng order. Sa kabutihang palad, hindi namin talagang kailangan na magtrabaho nang napakahirap para sa mga ito - ang pinaka-susunod na pinagmumulan ng pagbubunga

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

na kung saan ay di-zero para sa pareho # (0, pm 1 / sqrt2) # at # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Ngayon, nangangahulugan ito na, halimbawa

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

na nagpapakita na ito ay tumaas mula sa # f (0,1 / sqrt 2) # sa isang direksyon, at bumaba mula dito sa kabilang banda. Kaya naman # (0,1 / sqrt2) # ay isang ** punto ng pagbabago ng tono. Ang parehong argumento ay gumagana para sa iba pang mga tatlong puntos.