Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = 6 sin x sin y sa pagitan x, y sa [-pi, pi]?

Sagot:

# x = pi / 2 # at # y = pi #

# x = pi / 2 # at # y = -pi #

# x = -pi / 2 # at # y = pi #

# x = -pi / 2 # at # y = -pi #

# x = pi # at # y = pi / 2 #

# x = pi # at # y = -pi / 2 #

# x = -pi # at # y = pi / 2 #

# x = -pi # at # y = -pi / 2 #

Paliwanag:

Upang mahanap ang mga kritikal na punto ng a #2#-Kaararawang pag-andar, kailangan mong kumpirmahin ang gradient, na kung saan ay isang vector cointaining ang derivatives na may paggalang sa bawat variable:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Kaya, mayroon kami

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #, at katulad nito

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

Upang mahanap ang mga kritikal na punto, ang gradient ay dapat na zero vector #(0,0)#, na nangangahulugang paglutas sa sistema

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

kung saan siyempre maaari naming gawing simple ang pag-alis ng #6#'s:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):} #

Ang sistemang ito ay lutasin ang pagpili para sa # x # isang punto kung saan annihilates ang cosine, at para sa # y # isang punto na puksain ang sine, at kabaligtaran, kaya

# x = pm pi / 2 #, at # y = pm pi #, at kabaliktaran # x = pm pi # at # y = pm pi / 2 #, pagkuha #8# mga puntos sa kabuuan.

Ano ang extrema at saddle points ng f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Ang domain ng kahulugan ng: f (x) = 2x ^ 2lnx ay ang pagitan x sa (0, oo). Suriin ang una at ikalawang derivatives ng function: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 Ang mga kritikal na punto ay ang mga solusyon ng: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 at bilang x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Sa puntong ito: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 kaya ang kritikal na punto ay isang lokal na minimum. Ang mga puntod ay ang mga solusyon ng: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 at bilang f '' (x) ay nagdaragdag na monoton ma

Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) sa pagitan x, y sa [-pi, pi]?

Mayroon tayong: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Hakbang 1 - Hanapin ang Partial Derivatives isang function ng dalawa o higit pang mga variable sa pamamagitan ng differentiating wrt isang variable, habang ang iba pang mga variable ay itinuturing bilang pare-pareho. Kaya: Ang Unang Derivatives ay: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Ang Ikalawang Derivatives (quoted) ay: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) -12sinxcos2y Ang Ikalawang Bahagyang Cross-Derivatives ay: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = = -6cosxsin2y Tandaan na ang pangalawang ba

Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = xy (1-x-y)?

Ang mga puntos (0,0), (1,0), at (0,1) ay mga punto ng saddle. Ang punto (1 / 3,1 / 3) ay isang lokal na pinakamataas na punto. Maaari naming palawakin ang f sa f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Susunod, hanapin ang mga bahagyang derivatives at itakda ang mga ito katumbas ng zero. frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { partial f} { partial y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Malinaw, (x, y) = (0,0), (1,0), at (0,1) ang mga solusyon sa sistemang ito, at sa gayon ay mga kritikal na punto ng f. Ang iba pang mga solusyon ay matatagpuan mula sa sistema 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. Ang paglutas sa unang equation