Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = xy (1-x-y)?

Sagot:

Ang mga puntos #(0,0),(1,0)#, at #(0,1)# ay mga punto ng upuan. Ang punto #(1/3,1/3)# ay isang lokal na pinakamataas na punto.

Paliwanag:

Maaari naming palawakin # f # sa #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Susunod, hanapin ang mga bahagyang derivatives at itakda ang mga ito katumbas ng zero.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Malinaw, # (x, y) = (0,0), (1,0), # at #(0,1)# ang mga solusyon sa sistemang ito, at sa gayon ay mga kritikal na punto ng # f #. Ang iba pang solusyon ay matatagpuan mula sa sistema # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Paglutas ng unang equation para sa # y # sa mga tuntunin ng # x # nagbibigay # y = 1-2x #, na maaaring ikabit sa pangalawang equation upang makuha # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Mula dito, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # din.

Upang subukan ang kalikasan ng mga kritikal na puntong ito, nakahanap kami ng pangalawang derivatives:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, at # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y #.

Ang diskriminant ay kaya:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Ang pag-plug sa unang tatlong kritikal na punto ay nagbibigay sa:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, at #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, ginagawa ang mga puntong ito ng mga puntong pang-upa.

Ang pag-plug sa huling kritikal na punto ay nagbibigay #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Tandaan din iyan # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Samakatuwid, #(1/3,1/3)# ay isang lokasyon ng isang lokal na maximum na halaga ng # f #. Maaari mong suriin na ang lokal na pinakamataas na halaga mismo ay #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Nasa ibaba ang isang larawan ng contour map (ng mga curve ng antas) ng # f # (ang mga alon kung saan ang output ng # f # ay pare-pareho), kasama ang 4 na kritikal na punto ng # f #.