Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) sa pagitan x, y sa [-pi, pi]?

Sagot:

Paliwanag:

Meron kami:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Hakbang 2 - Kilalanin ang Mga Kritikal na Punto

Ang isang kritikal na punto ay nangyayari sa isang sabay-sabay na solusyon ng

# f_x = f_y = 0 iff (bahagyang f) / (bahagyang x) = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 #

i.e, kapag:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # sabay-sabay

Isaalang-alang ang equation A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Pagkatapos ay mayroon kaming dalawang solusyon:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Ngayon ay gamitin natin ang Eq B upang hanapin ang nararapat na coordinate:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# = = 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x sa RR # (gutters)

Na nagbibigay sa amin ng sumusunod na mga kritikal na punto:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritikal na puntos)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritikal na puntos)

# (alpha, 0) AA alpha sa RR # (linya ng gutter)

# (alpha, + -pi) AA alpha sa RR # (2 linya ng gutter)

Isaalang-alang ang equation B

# -6sinxsin2y = 0 #

Pagkatapos ay mayroon kaming dalawang solusyon:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Ngayon, gamitin natin ang Eq A upang mahanap ang nararapat na coordinate @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (uulit ng nasa itaas)

# y = 0 => x sa RR # (ulitin sa itaas)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# = = x = + - pi / 2 # (uulit ng nasa itaas)

Na hindi nagbibigay sa amin ng karagdagang mga kritikal na punto:

Hakbang 3 - I-classify ang mga kritikal na punto

Upang mai-uri-uri ang mga kritikal na punto ay nagsasagawa kami ng isang pagsubok na katulad ng isang variable na calculus gamit ang pangalawang bahagyang derivatives at ang Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x ^ 2), (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x bahagyang y)), ((bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang y bahagyang x)) / (bahagyang y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Pagkatapos ay depende sa halaga ng # Delta #:

# {: (Delta> 0, "May pinakamataas kung" f_ (xx) <0), (, "at isang minimum kung" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "mayroong isang saddle point"), (Delta = 0, "Ang karagdagang pagsusuri ay kinakailangan"):} #

Ang paggamit ng pasadyang excel macros ang mga halaga ng pag-andar kasama ang mga bahagyang hinalaw na halaga ay kinukuwenta bilang mga sumusunod:

Narito ang isang balangkas ng pag-andar

At ang ploit sa mga kritikal na punto (at gutters)

Ano ang extrema at saddle points ng f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Ang domain ng kahulugan ng: f (x) = 2x ^ 2lnx ay ang pagitan x sa (0, oo). Suriin ang una at ikalawang derivatives ng function: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 Ang mga kritikal na punto ay ang mga solusyon ng: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 at bilang x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Sa puntong ito: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 kaya ang kritikal na punto ay isang lokal na minimum. Ang mga puntod ay ang mga solusyon ng: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 at bilang f '' (x) ay nagdaragdag na monoton ma

Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = 6 sin x sin y sa pagitan x, y sa [-pi, pi]?

X = pi / 2 at y = pi x = pi / 2 at y = -pi x = -pi / 2 at y = pi x = -pi / 2 at y = -pi x = pi at y = pi / 2 x = pi at y = -pi / 2 x = -pi at y = pi / 2 x = -pi at y = -pi / 2 Upang mahanap ang mga kritikal na punto ng isang 2-variable na function, kailangan mong kalkulahin ang gradient, ay isang vector na nagpapahintulot sa mga derivatibo tungkol sa bawat variable: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Kaya, mayroon tayong d / dx f (x, y) = 6cos ) sin (y), at katulad d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Upang mahanap ang mga kritikal na puntos, ang gradient ay dapat na zero vector (0,0), na nangangahulugang paglutas ng sistem

Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = xy (1-x-y)?

Ang mga puntos (0,0), (1,0), at (0,1) ay mga punto ng saddle. Ang punto (1 / 3,1 / 3) ay isang lokal na pinakamataas na punto. Maaari naming palawakin ang f sa f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. Susunod, hanapin ang mga bahagyang derivatives at itakda ang mga ito katumbas ng zero. frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { partial f} { partial y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 Malinaw, (x, y) = (0,0), (1,0), at (0,1) ang mga solusyon sa sistemang ito, at sa gayon ay mga kritikal na punto ng f. Ang iba pang mga solusyon ay matatagpuan mula sa sistema 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. Ang paglutas sa unang equation