Ano ang mga ekstrema at mga punto ng siyahan ng f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Wala akong nakita na mga puntong pang-upa, ngunit may pinakamaliit na:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Upang mahanap ang extrema, kunin ang bahagyang hinalaw na may kinalaman sa # x # at # y # upang makita kung ang parehong mga bahagyang derivatives ay maaaring sabay-sabay na katumbas #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Kung magkasabay sila ay dapat pantay-pantay #0#, bumubuo sila ng isang sistema ng equation:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Ito linear sistema ng mga equation, kapag binabawasan upang kanselahin # y #, ay nagbibigay ng:

# 3x - 1 = 0 => kulay (berde) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => kulay (berde) (y = -2/3) #

Yamang ang mga equation ay linear, mayroong isang kritikal na punto lamang, at sa gayon ay isa lamang ang kalupkop. Sasabihin sa amin ng ikalawang hinalaw na ito kung ito ay isang maximum o minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Ang mga ikalawang partials ay may kasunduan, kaya ang graph ay malukong, kasama ang # x # at # y # axes.

Ang halaga ng #f (x, y) # sa kritikal na punto ay (sa pamamagitan ng pag-plug pabalik sa orihinal na equation):

#color (green) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = kulay (green) (- 1/3) #

Kaya, mayroon tayong isang pinakamaliit ng #color (asul) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Ngayon, para sa cross-derivatives upang suriin ang anumang mga punto ng pukyutan na maaaring kasama sa isang dayagonal direksyon:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Sapagkat ang mga ito ay pareho din sa kasunduan, sa halip na maging tapat na mga palatandaan, mayroon walang puntong pang-upa.

Maaari naming makita kung paano hitsura ng graph na ito upang suriin lamang: