Sagot:
Ang punto # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) approx (1.26694,1.16437) # ay isang lokal na pinakamaliit na punto.
Paliwanag:
Ang unang pagkakasunud-sunod na mga derivatibo ay # (bahagyang f) / (bahagyang x) = y-3x ^ {- 4} # at # (bahagyang f) / (bahagyang y) = x-2y ^ {- 3} #. Ang pagtatakda ng mga parehong kapantay ng zero na mga resulta sa system # y = 3 / x ^ (4) # at # x = 2 / y ^ {3} #. Subtituting ang unang equation sa ikalawang nagbibigay # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Mula noon #x! = 0 # sa domain ng # f #, nagreresulta ito sa # x ^ {11} = 27/2 # at # x = (27/2) ^ {1/11} # kaya na # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Ang pangalawang pagkakasunod-sunod na mga derivatibo ay # (bahagyang ^ {2} f) / (bahagyang x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (bahagyang ^ {2} f) / (bahagyang y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, at # (bahagyang ^ {2} f) / (bahagyang x bahagyang y) = (bahagyang ^ {2} f) / (bahagyang y bahagyang x) = 1 #.
Samakatuwid ang diskriminasyon (Partial y ^ {2}) - ((bahagyang ^ {2} f) / (partial ^ {2} f) / (bahagyang ^ bahagyang x bahagyang y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Ito ay positibo sa kritikal na punto.
Dahil ang purong (hindi halo-halong) ikalawang-order na mga partial derivatives ay positibo din, sumusunod na ang kritikal na punto ay isang lokal na minimum.
