Ano ang mga lokal na extrema, kung mayroon man, ng f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Sagot:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # May isang lokal na minimum para sa # x = 1 # at isang lokal na maximum para sa # x = 3 #

Paliwanag:

Meron kami:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

ang function ay tinukoy sa lahat ng # RR # bilang # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Maaari naming tukuyin ang mga kritikal na punto sa pamamagitan ng paghahanap kung saan ang unang derivative ay katumbas ng zero:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

kaya ang mga kritikal na punto ay:

# x_1 = 1 # at # x_2 = 3 #

Dahil ang denamineytor ay laging positibo, ang tanda ng #f '(x) # ang kabaligtaran ng tanda ng numerator # (x ^ 2-4x + 3) #

Ngayon alam namin na ang isang pangalawang polynomial order na may positibong nangungunang koepisyent ay positibo sa labas ng agwat na binubuo sa pagitan ng mga ugat at negatibo sa agwat sa pagitan ng mga ugat, upang:

#f '(x) <0 # para sa #x sa (-oo, 1) # at #x sa (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # para sa #x in (1,3) #

Mayroon na tayo noon #f (x) # ay bumaba sa # (- oo, 1) #, dumarami #(1,3)#, at muling bumababa # (3, oo) #, kaya nga # x_1 = 1 # ay dapat na isang lokal na minimum at # x_2 = 3 # ay dapat na isang lokal na maximum.

graph {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}