Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Meron kami:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

Hakbang 2 - Kilalanin ang Mga Kritikal na Punto

Ang isang kritikal na punto ay nangyayari sa isang sabay-sabay na solusyon ng

# f_x = f_y = 0 iff (bahagyang f) / (bahagyang x) = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 #

i.e, kapag:

# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # sabay-sabay

Mula sa kung saan maaari naming magtatag:

# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #

# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #

Kaya hinihiling namin na:

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

Pagkatapos ay mayroon kaming dalawang (walang katapusang eroplano) na mga solusyon:

#:. x = + - y #

At sa gayon ay natapos na natin ang walang katapusang maraming mga kritikal na punto kasama ang buong haba ng intersection ng curve at ang dalawang eroplano #x = + - y #

Hakbang 3 - I-classify ang mga kritikal na punto

Upang mai-uri-uri ang mga kritikal na punto ay nagsasagawa kami ng isang pagsubok na katulad ng isang variable na calculus gamit ang pangalawang bahagyang derivatives at ang Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x ^ 2), (bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang x bahagyang y)), ((bahagyang ^ 2 f) / (bahagyang y bahagyang x)) / (bahagyang y ^ 2)) #

# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Pagkatapos ay depende sa halaga ng # Delta #:

# {: (Delta> 0, "May pinakamataas kung" f_ (xx) <0), (, "at isang minimum kung" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "mayroong isang saddle point"), (Delta = 0, "Ang karagdagang pagsusuri ay kinakailangan"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #

(x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

Kailangan nating isaalang-alang ang tanda ng # Delta #, at tandaan namin iyan # e ^ z gt 0 AA z sa RR #, kaya kailangan lamang isaalang-alang ang pag-sign ng:

(X ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

Kaya, depende sa pag-sign # Delta '# mayroon kaming isang walang katapusang bilang ng maxima at mga punto ng upuan kasama ang mga eroplano #x = + - y #

Narito ang isang balangkas ng pag-andar

At dito ay isang balangkas ng pag-andar kabilang ang mga eroplano #x = + - y #