Ano ang pandaigdigang at lokal na extrema ng f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Sagot:

#f (x) # ay may ganap na minimum sa #(-1. 0)#

#f (x) # May pinakamalaking lokal sa # (- 3, 4e ^ -3) #

Paliwanag:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Patakaran ng produkto

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Para sa ganap o lokal na extrema: #f '(x) = 0 #

Iyon ay kung saan: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Mula noon # e ^ x> 0 forall x in RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 o -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Patakaran ng produkto

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Muli, dahil # e ^ x> 0 # kailangan lang nating subukan ang tanda ng # (x ^ 2 + 6x + 7) #

sa aming mga puntos sa extrema upang matukoy kung ang punto ay isang maximum o isang minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # ay isang minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # ay isang maximum

Isinasaalang-alang ang graph ng #f (x) # sa ibaba ito ay malinaw na #f (-3) # ay isang lokal na maximum at #f (-1) # ay isang absolute minimum.

graph {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Sa wakas, sinusuri ang mga puntos sa extrema:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

at

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #