Ano ang extrema ng f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 sa [-oo, oo]?

Sagot:

#f (x) # may minimum sa # x = 2 #

Paliwanag:

Bago magpatuloy, tandaan na ito ay isang paitaas na nakaharap sa parabola, ibig sabihin maaari naming malaman nang walang karagdagang pagkalkula na ito ay walang maxima, at isang solong minimum sa kanyang kaitaasan. Ang pagkumpleto sa parisukat ay magpapakita sa amin iyan #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, na nagbibigay sa kaitaasan, at sa gayon ay ang tanging minimum, sa #x = 2 #. Tingnan natin kung paano ito gagawin sa calculus, bagaman.

Anumang extrema ay magaganap alinman sa isang kritikal na punto o sa isang dulo ng ibinigay na agwat. Tulad ng aming ibinigay na agwat ng # (- oo, oo) # ay bukas, maaari naming huwag pansinin ang posibilidad ng mga endpoint, at sa gayon ay muna naming kilalanin ang mga kritikal na punto ng pag-andar, iyon ay, ang punto kung saan ang nanggagaling sa pag-andar ay #0# o hindi umiiral.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Ang pagtatakda ng katumbas na ito #0#, nakita namin ang isang kritikal na punto sa # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Ngayon, maaari naming subukan upang makita kung ito ay isang extremum (at kung anong uri) sa pamamagitan ng pagsuri ng ilang mga halaga ng # f # sa puntong iyon, o sa pamamagitan ng paggamit ng ikalawang pambungad na pagsubok. Gamitin natin ang huli.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Bilang #f '' (2) = 6> 0 #, ang ikalawang derivative test ay nagsasabi sa amin na #f (x) # May lokal na minimum sa # x = 2 #

Kaya, gamit #f '(x) # at #f '' (x) #, nalaman natin iyan #f (x) # may minimum sa # x = 2 #, na tumutugma sa resulta na natagpuan namin gamit ang algebra.