Ano ang extrema at mga punto ng pamanas ng f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Sagot:

# {: ("Critical Point", "Conclusion"), ((0,0,0), "saddle"):} #

Paliwanag:

Ang teorya upang makilala ang extrema ng # z = f (x, y) # ay:

1. Malutas nang sabay-sabay ang mga kritikal na equation

   # (bahagyang f) / (bahagyang x) = (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 # (ibig sabihin # f_x = f_y = 0 #)

2. Suriin #f_ (x x), f_ (yy) at f_ (xy) (= f_ (yx)) # sa bawat isa sa mga kritikal na puntong ito. Samakatuwid suriin # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # sa bawat isa sa mga puntong ito
3. Tukuyin ang likas na katangian ng extrema;

   # {: (Delta> 0, "May pinakamaliit kung" f_ (xx) <0), (, "at isang maximum kung" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "mayroong isang saddle point"), (Delta = 0, "Ang karagdagang pagsusuri ay kinakailangan"):} #

Kaya mayroon tayo:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Hanapin natin ang unang bahagyang derivatives:

# (partial f) / (bahagyang x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

(x ^ 2)) + (x ^ ^)

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Kaya ang aming mga kritikal na equation ay:

(x ^ 2) -y ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Mula sa mga equation na ito mayroon kami:

# y = 0 # o # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # o # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

At ang tanging sabay na solusyon ay # x = y = 0 #

At sa gayon ay mayroon tayo isa kritikal na punto sa pinanggalingan

Kaya, ngayon ipaalam sa amin tumingin sa ikalawang bahagyang derivatives upang maaari naming matukoy ang likas na katangian ng mga kritikal na punto (Kukunin ko na quote lamang ang mga resulta):

# (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# partial ^ 2f) / (bahagyang y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

(x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (partial ^ (= (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang y bahagyang x)) #

At dapat nating kalkulahin ang:

(Partial ^ 2f) / (bahagyang x bahagyang y)) ^ 2 #

sa bawat kritikal na punto. Ang pangalawang bahagyang mga nalikhang halaga, # Delta #, at ang konklusyon ay ang mga sumusunod:

(Bahagyang ^ 2f) / (bahagyang y ^ 2), (bahagyang ^ 2f) / (bahagyang x bahagyang y), Delta, "Konklusyon"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #

Kaya pagkatapos ng lahat ng gawa na ito ay sa halip disappointing upang makakuha ng isang napapabilang resulta, ngunit kung namin suriin ang pag-uugali sa paligid ng mga kritikal na punto maaari naming madaling itatag na ito ay isang saddle point.

Makikita natin ang mga kritikal na puntong ito kung titingnan natin ang 3D plot: