Sagot:
Pakitingnan ang paliwanag sa ibaba
Paliwanag:
Ang pag-andar ay
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Ang mga bahagyang derivatives ay
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Hayaan # (delf) / (delx) = 0 # at # (delf) / (dely) = 0 #
Pagkatapos, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Ang Hessian matrix ay
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
Ang determinant ay
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Samakatuwid, Walang mga puntong pang-upa.
#D (1,1)> 0 # at # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, mayroong isang lokal na minimum sa #(-3,3)#
Sagot:
Lokal na minimum: #(-3,3)#
Paliwanag:
Ang pangkat ng mga punto na kasama ang parehong extrema at mga punto ng siyahan ay natagpuan kapag pareho # (delf) / (delx) (x, y) # at # (delf) / (dely) (x, y) # ay katumbas ng zero.
Ipagpalagay # x # at # y # ay malayang mga variable:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Kaya kami ay may dalawang sabay-sabay equation, na maligaya mangyari sa linear:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Mula sa una:
# y = -2x-3 #
Kapalit sa ikalawa:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Pabalikin sa unang:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Kaya may isang punto kung saan ang unang derivatives maging pantay na zero, alinman sa isang extremum o isang siyahan, sa # (x, y) = (- 3,3) #.
Upang mahulaan kung saan, kailangan nating kalkulahin ang matrix ng ikalawang derivatives, ang Hessian matrix (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Kaya naman
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Ang lahat ng ikalawang derivatives order ay pare-pareho pare-pareho ang anumang mga halaga ng # x # at # y #, kaya hindi namin kailangang partikular na ikumpara ang mga halaga para sa punto ng interes.
NB Ang pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan ay hindi mahalaga para sa mga function na may tuloy-tuloy na ikalawang derivatives (Clairault's Theorem, application dito: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), at kaya inaasahan namin na # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, tulad ng nakikita natin sa aming partikular na resulta sa itaas.
Sa ganitong dalawang-variable na kaso, maaari naming pagbatihin ang uri ng punto mula sa determinant ng Hessian, (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 =.
Ang isang porma ng pagsubok upang mangasiwa ay ibinigay dito:
Nakikita natin na ang determinant ay #>0#, at iba pa # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Kaya tinapos natin iyon #(-3,3)#, ang tanging punto ng zero unang kinuha, ay isang lokal na minimum ng function.
Bilang isang katinuan suriin para sa isang one-dimensional function na tanong, ako ay karaniwang post ang graph ng mga ito, ngunit Socratic ay walang isang ibabaw o contour plotting pasilidad na angkop para sa dalawang-dimensional function, hanggang sa maaari kong makita. Kaya't labagin ko ang dalawang mga function #f (-3, y) # at #f (x, 3) #, na hindi makilala ang buong domain ng pag-andar para sa amin, ngunit ipapakita sa amin ang pinakamaliit sa pagitan ng mga ito, na lumilitaw gaya ng inaasahan sa # y = 3 # at # x = -3 #, pagkuha ng magkatulad na halaga ng function # f = -5 # sa bawat kaso.
Bilang #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graph {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
