Ano ang extrema ng f (x) = 3x-1 / sinx sa [pi / 2, (3pi) / 4]?

Sagot:

Ang absolute minimum sa domain ay nangyayari sa approx. # (pi / 2, 3.7124) #, at ang absolute max sa domain ay nangyayari sa approx. # (3pi / 4, 5.6544) #. Walang lokal na extrema.

Paliwanag:

Bago tayo magsimula, kailangan nating pag-aralan at tingnan kung #sin x # tumatagal sa isang halaga ng #0# sa anumang punto sa agwat. #sin x # ay zero para sa lahat ng x tulad na #x = npi #. # pi / 2 # at # 3pi / 4 # ay parehong mas mababa kaysa sa # pi # at mas malaki kaysa sa # 0pi = 0 #; kaya, #sin x # hindi tumatagal sa isang halaga ng zero dito.

Upang matukoy ito, isipin na ang isang matinding nangyayari alinman kung saan #f '(x) = 0 # (mga kritikal na punto) o sa isa sa mga endpoint. Ito sa isip, kinukuha namin ang pinaghuhulaan ng nasa itaas f (x), at hanapin ang mga punto kung saan ang kinopyang ito ay katumbas ng 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx)

Paano natin dapat malutas ang huling termino na ito?

Isaalang-alang sa madaling sabi ang kapalit ng panuntunan, na binuo upang mahawakan ang mga sitwasyon tulad ng aming huling termino dito, # d / (dx) (1 / sin x) #. Ang kapalit ng panuntunan ay nagpapahintulot sa amin na laktawan nang direkta gamit ang kadena o kusang panuntunan sa pamamagitan ng pagpapahayag na ibinigay ng isang iba't ibang mga function #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

kailan #g (x)! = 0 #

Bumalik sa aming pangunahing equation, kami ay umalis na may;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Mula noon #sin (x) # ay naiiba, maaari naming ilapat ang kapalit na panuntunan dito:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Ang pagtatakda ng katumbas ng 0, dumarating kami sa:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Ito ay maaaring mangyari lamang kung kailan #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Mula dito maaaring magawa sa amin na gamitin ang isa sa mga trigonometrikong kahulugan, partikular # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Ito ay kahawig ng isang polinomyal, na may #cos x # pinapalitan ang aming tradisyonal na x. Kaya, ipinahayag namin #cos x = u # at …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Gamit ang parisukat na formula dito …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Ang aming mga ugat ay nangyari sa #u = (1 + -sqrt37) / 6 # ayon dito. Gayunpaman, ang isa sa mga pinagmulan (# (1 + sqrt37) / 6 #) ay hindi maaaring isang ugat para sa #cos x # dahil ang ugat ay mas malaki sa 1, at # -1 <= cosx <= 1 # para sa lahat ng x. Ang aming ikalawang ugat, sa kabilang banda, kinakalkula bilang humigit-kumulang #-.847127#. Gayunpaman, ito ay mas mababa kaysa sa minimum na halaga ng #cos x # maaari ang function sa agwat (mula noong #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Kaya, walang kritikal na punto sa domain.

Ito sa isip, kailangan naming bumalik sa aming endpoints at ilagay ang mga ito sa orihinal na function. Ang paggawa nito, natatamo natin #f (pi / 2) approx 3.7124, f (3pi / 4) Tinatayang 5.6544 #

Kaya, ang aming absolute minimum sa domain ay humigit-kumulang # (pi / 2, 3.7124), # at ang aming maximum ay humigit-kumulang # (3pi / 4, 5.6544) #