Ano ang absolute extrema ng f (x) = sin2x + cos2x sa [0, pi / 4]?

Sagot:

Ganap na max: #x = pi / 8 #

Ganap na min. ay nasa mga endpoint: #x = 0, x = pi / 4 #

Paliwanag:

Hanapin ang unang hinangong gamit ang tuntunin ng kadena:

Hayaan #u = 2x; u '= 2 #, kaya #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Maghanap ng mga kritikal na numero sa pamamagitan ng pagtatakda #y '= 0 # at kadahilanan:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Kailan ginagawa #cosu = sinu #? kailan #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

kaya nga #x = u / 2 = pi / 8 #

Hanapin ang ika-2 hinalaw: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Suriin upang makita kung mayroon kang isang max sa # pi / 8 # gamit ang 2nd derivative test:

#y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, samakatuwid # pi / 8 # ay ang absolute max sa pagitan.

Suriin ang mga endpoint:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # pinakamababang halaga

Mula sa graph:

graph {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

Sagot:

# 0 at sqrt2 #. Tingnan ang nakapagpapakita na Socratic graph.

Paliwanag:

graph (Gamitin # | kasalanan (theta) | sa 0, 1 #.

# | f | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) | #

# = sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | sa 0, sqrt 2 #.