Ano ang extrema ng f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 sa pagitan [-1,3]?

Sagot:

Mayroon kaming isang minima sa # x = 0 # at isang punto ng tono sa # x = 3 #

Paliwanag:

Ang isang maxima ay isang mataas na punto kung saan ang isang function ay tumataas at pagkatapos ay bumaba muli. Kung gayon ang slope ng tangent o ang halaga ng hinangong sa puntong iyon ay magiging zero.

Dagdag pa, habang ang mga tangents sa kaliwa ng maxima ay magiging sloping paitaas, pagkatapos ay pagyupi at pagkatapos ay sloping pababa, slope ng padaplis ay patuloy na bumababa, ibig sabihin ang halaga ng ikalawang nanggaling ay magiging negatibo.

Ang isang minima sa iba pang mga kamay ay isang mababang punto kung saan ang isang function ay bumaba at pagkatapos ay tumataas muli. Tulad ng ang padaplis o ang halaga ng mga hinangong sa minima masyadong ay magiging zero.

Subalit, habang ang mga tangents sa kaliwa ng minima ay magiging sloping pababa, pagkatapos pagyupi at pagkatapos ay sloping pataas, slope ng padaplis ay patuloy na pagtaas o ang halaga ng ikalawang nanggaling ay magiging positibo.

Kung ang ikalawang derivative ay zero mayroon kami ng isang punto ng

Gayunpaman, ang mga maxima at minima ay maaaring maging unibersal na i.e. maxima o minima para sa buong saklaw o maaaring ma-localize, i.e. maxima o minima sa isang limitadong hanay.

Tingnan natin ito sa pagtukoy sa pag-andar na inilarawan sa tanong at para sa ito ay muna nating malaman #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Ang unang hinalaw nito ay ibinigay ng #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Ito ay magiging zero para sa # x ^ 2-9 = 0 # o #x = + - 3 # o #0#. Ng mga ito lamang #{0,3}# ay nasa loob ng saklaw #-1,3}#.

Kaya ang maxima o minima ay nangyayari sa mga punto # x = 0 # at # x = 3 #.

Upang malaman kung ito ay maxima o minima, tingnan natin ang pangalawang kaugalian na #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # at samakatuwid habang

sa # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # at positibo

sa # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # at ito ay isang punto ng pagbabago.

Kaya, mayroon kaming lokal na minima sa # x = 0 # at isang punto ng tono sa # x = 3 #

. graph {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Sagot:

Ang absolute minimum ay #(-9)^3+10# (na nangyayari sa #0#), ang absolute maximum sa pagitan ay #10#, (na nangyayari sa #3#)

Paliwanag:

Ang tanong ay hindi tumutukoy kung tayo ay makakahanap ng kamag-anak o absolute extrema, kaya makakakita tayo ng kapwa.

Ang relatibong extrema ay maaaring mangyari lamang sa mga kritikal na numero. Ang mga kritikal na numero ay mga halaga ng # x # na nasa domain ng # f # at kung saan alinman #f '(x) = 0 # o #f '(x) ay hindi umiiral. (Fermat's Theorem)

Ang absolute extrema sa isang closed interval ay maaaring mangyari sa mga kritikal na numero sa agwat o sa mga enpoints ng agwat.

Dahil ang tungkulin na tinanong tungkol dito ay patuloy sa #-1,3#, Tinitiyak sa amin ng Extreme Value Theorem na # f # dapat may parehong absolute minimum at absolute maximum sa pagitan.

Mga kritikal na numero at kamag-anak extrema.

Para sa #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, nakita namin #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Malinaw, # f '# hindi kailanman nabuo, kaya walang mga kritikal na bilang ng ganitong uri.

Paglutas # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # nagbubunga ng mga solusyon #-3#, #0#, at #3#.

#-3# ay wala sa domain ng problemang ito, #-1,3# kaya kailangan lang namin suriin #f (0) # at #f (3) #

Para sa #x <0 #, meron kami #f '(x) <0 # at

para sa #x> 0 #, meron kami #f '(x)> 0 #.

Kaya, sa pamamagitan ng unang pagsubok na may kinalaman, #f (0) # ay isang minimum na kamag-anak. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Ang iba pang kritikal na numero sa pagitan ay #3#. Kung balewalain natin ang paghihigpit sa domain, nakita natin iyon #f '(x)> 0 # para sa lahat # x # malapit #3#. Kaya, ang pagtaas ng pag-andar sa mga maliliit na bukas na agwat na naglalaman #3#. Kung gayon, kung hihinto tayo sa #3# Naabot namin ang pinakamataas na punto sa domain.

Mayroong hindi pangkalahatang kasunduan kung sasabihin iyan #f (3) = 10 # ay isang kamag-anak na maximum para sa function na ito sa #-1,3#.

Ang ilan ay nangangailangan ng halaga sa magkabilang panig upang maging mas mababa, ang iba ay nangangailangan ng mga halaga sa domain sa magkabilang panig upang maging mas mababa.

Ganap na Extrema

Ang sitwasyon para sa ganap na extrema sa isang closed interval # a, b # ay mas simple.

Maghanap ng mga kritikal na numero sa saradong pagitan. Tawagan ang # c_1, c_2 # at iba pa.

Kalkulahin ang mga halaga #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # at iba pa. Ang pinakadakilang halaga ay ang absolute maixmum sa pagitan at ang hindi bababa sa halaga ay ang absolute minimum sa pagitan.

Sa tanong na ito, kinakalkula namin #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # at #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Ang minimum ay #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # at

ang maximum ay #f (-3) = 10 #.