Ano ang extrema at saddle points ng f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Sagot:

May isang extrema sa #(3,3,27)#

Meron kami:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

At kaya nakukuha natin ang mga bahagyang derivatives:

# (bahagyang f) / (bahagyang x) = y - 27 / x ^ 2 # at # (bahagyang f) / (bahagyang y) = x - 27 / y ^ 2 #

Sa isang extrema o saddle point mayroon kami:

# (bahagyang f) / (bahagyang x) = 0 # at # (bahagyang f) / (bahagyang y) = 0 # sabay-sabay:

i.e. isang sabay-sabay na solusyon ng:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Ang pagbabawas ng mga equation na ito ay nagbibigay ng:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Maaari naming alisin # x = 0; y = 0 # at iba pa # x = y # ay ang tanging wastong solusyon, na hahantong sa:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

At kasama ang # x = y = 3 #, meron kami:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Samakatuwid, mayroon lamang isang kritikal na punto na nangyayari sa (3,3,27) na makikita sa lagay ng ito (na kinabibilangan ng tangent plane)