Paano mo mahanap ang kasalanan (x / 2), cos (x / 2), at tan (x / 2) mula sa ibinigay na Cot (x) = 13?

Sagot:

Mayroong tunay na apat na halaga para sa # x / 2 # sa yunit ng bilog, kaya apat na halaga para sa bawat trig function. Ang pangunahing halaga ng kalahating anggulo ay nasa paligid # 2.2 ^ circ. #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Pakitingnan ang paliwanag para sa iba.

Paliwanag:

Pag-usapan natin ang sagot nang una. Mayroong dalawang mga anggulo sa yunit ng bilog na ang cotangent ay #13#. Ang isa ay nasa paligid # 4.4 ^ circ #, at isa pa ang plus na iyon # 180 ^ circ #, tawagin mo # 184.4 ^ circ #. Ang bawat isa sa mga may dalawang kalahati anggulo, muli pinaghihiwalay ng # 180 ^ circ. # Ang una ay may kalahating anggulo # 2.2 ^ circ # at # 182.2 ^ circ #, ang pangalawa ay may kalahating anggulo # 92.2 ^ circ # at # 272.2 ^ circ #, Kaya may mga talagang apat na kalahating anggulo na pinag-uusapan, na may magkakaibang ngunit kaugnay na mga halaga para sa kanilang mga trig function.

Gagamitin namin ang mga anggulo sa itaas bilang approximations kaya mayroon kaming mga pangalan para sa kanila.

Mga anggulo na may cotangent ng 13:

#text {Arc} text {cot} 13 approx 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 approx 184.4 ^ circ #

Half angles:

# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 approx 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 272.2 ^ circ #

OK, ang double formula ng anggulo para sa cosine ay:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

kaya ang may-katuturang mga formula sa anggulo sa kalahati ay

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Iyon lang ang pauna. Gawin natin ang problema.

Gagawa muna namin ang maliit na anggulo, # 2.2 ^ circ. # Nakita namin ang iba pa sa mga ito ay lamang ng mga multiple ng # 90 ^ circ # sa itaas na, upang makuha namin ang kanilang mga trig function mula sa unang anggulo.

Ang isang cotangent ng 13 ay isang libis ng #1/13# kaya tumutugma sa isang tamang tatsulok na may kabaligtaran #1#, katabi #13# at hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Ngayon inilalapat namin ang mga formula sa kalahati ng anggulo. Para sa aming anggulo ng kaunti sa unang kuwadrante, pinili namin ang mga positibong palatandaan.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ)) = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Maaari naming subukan upang gawing simple at ilipat ang mga fractions sa labas ng radikal, ngunit ko lamang iwanan ito dito.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ)) = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Ang tanging anggulo sa kalahati ay ang kusyente ng mga iyon, ngunit mas madaling gamitin

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {

OK, iyon ang lahat ng mahirap na bahagi, ngunit huwag kalimutan ang iba pang mga anggulo.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Ngayon kami ay may mga natitirang mga anggulo, na swap sine at cosine, flipping palatandaan. Hindi namin ulitin ang mga form maliban sa padaplis.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Phew.

Sagot:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384, kasalanan (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (krimson) (tan (x / 2) = -26.0384, kasalanan (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Paliwanag:

# tan (2x) = (2 tonelada x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tonelada x) / (1 + tonelada ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tonelada ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tonelada (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

Ngunit nalaman na #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Kailan #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / kayumanggi (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

Kailan #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #