Kung walang graphing, paano ka magpasya kung ang sumusunod na sistema ng linear equation ay may isang solusyon, walang katapusan maraming solusyon o walang solusyon?

Sagot:

Isang sistema ng # N # linear equation with # N # Hindi alam na mga variable na hindi naglalaman ng linear dependency sa pagitan ng mga equation (sa ibang salita, nito determinant ay di-zero) ay magkakaroon ng isa at isa lamang na solusyon.

Paliwanag:

Isaalang-alang natin ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi kilalang mga variable:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Kung pares # (A, B) # ay hindi proporsyonal sa pares # (D, E) # (ibig sabihin, walang ganitong numero # k # na # D = kA # at # E = kB #, na maaaring i-check sa kondisyon # A * E-B * D! = 0 #) pagkatapos ay mayroong isa at isa lamang na solusyon:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Halimbawa:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Solusyon:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Kung pares # (A, B) # ay proporsyonal sa pares # (D, E) # (na nangangahulugan na mayroong ganitong numero # k # na # D = kA # at # E = kB #, na maaaring masuri ng isang kondisyon # A * E-B * D = 0 #), mayroong dalawang mga kaso:

(a) walang katapusang bilang ng mga solusyon kung # C # at # F # ay proporsyonal sa parehong koepisyent bilang # A # at # D #, yan ay # F = kC #, kung saan # k # ay ang parehong koepisyent ng proporsyonalidad;

Halimbawa:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Dito # k = 2 # para sa lahat ng mga pares: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Ang ikalawang equation ay isang maliit na kinahinatnan ng unang (lamang multiply ang unang equation sa pamamagitan ng #2#) at, samakatuwid, ay hindi nagbibigay ng karagdagang impormasyon tungkol sa hindi alam, pagbawas ng bilang ng mga equation, epektibo, sa 1.

(b) walang solusyon sa lahat, kung #F! = KC #

Halimbawa:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

Sa ganitong kaso equation magkasalungat sa bawat isa dahil, sa pamamagitan ng multiply ang unang sa pamamagitan ng 2, makuha namin sa equation # 2x + 8y = 6 #, na hindi maaaring magkaroon ng karaniwang solusyon # 2x + 8y = 5 # dahil ang mga kaliwang bahagi ng dalawang equation ay pantay, ngunit ang mga tamang bahagi ay hindi.

Paano mo sasabihin kung ang sistema y = -2x + 1 at y = -1 / 3x - 3has walang solusyon o walang katapusan maraming mga solusyon?

Kung susubukan mong hanapin ang (mga) solusyon ng graphically, nais mong balangkas ang parehong mga equation bilang tuwid na mga linya. Ang (mga) solusyon ay kung saan ang mga linya ay bumalandra. Tulad ng mga ito ay parehong tuwid na mga linya, magkakaroon, sa karamihan, isang solusyon. Dahil ang mga linya ay hindi parallel (ang gradients ay iba), alam mo na may isang solusyon. Maaari mong mahanap ito graphically bilang lamang na inilarawan, o algebraically. y = -2x + 1 at y = -1 / 3x-3 So -2x + 1 = -1 / 3x-3 1 = 5 / 3x-3 4 = 5/3 x x = 12/5 = 2.4

Alin sa mga sumusunod na pahayag ay totoo / mali? Iwasto ang iyong sagot. (i) R² ay may walang katapusang maraming di-zero, wastong mga espasyo ng vector. (ii) Ang bawat sistema ng mga homogeneous linear equation ay may walang zero na solusyon.

"(i) Tama." "(ii) Mali." "Mga katunayan." "(i) Maaari naming bumuo ng tulad ng isang hanay ng mga subspaces:" "1)" forall r sa RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) sa RR ^ 2. "[Geometrically," V_r "ay ang linya sa pamamagitan ng pinagmulan ng" RR ^ 2, "ng slope" r.] "2) Susuriin namin na ang mga subspaces ay nagpapawalang-sala sa assertion (i)." "3) Maliwanag:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. "4) Tiyakin na:" qquad qquad V_r "ay isang wastong subspace ng" RR ^ 2. &qu

X - y = 3 -2x + 2y = -6 Ano ang maaaring sabihin tungkol sa sistema ng mga equation? Mayroon ba itong isang solusyon, walang katapusan na maraming solusyon, walang solusyon o 2 solusyon.

Walang-hanggan marami Mayroon kaming dalawang equation: E1: x-y = 3 E2: -2x + 2y = -6 Narito ang aming mga pagpipilian: Kung maaari kong gawing eksaktong E2 ang E1, mayroon kaming dalawang expression ng parehong linya at sa gayon mayroong walang katapusan maraming solusyon. Kung maaari kong gawin ang mga tuntunin ng x at y sa E1 at E2 pareho ngunit nagtatapos sa iba't ibang mga numero na katumbas nito, ang mga linya ay magkapareho at sa gayon walang mga solusyon.Kung hindi ko magagawa ang alinman sa mga iyon, pagkatapos ay mayroon akong dalawang magkakaibang mga linya na hindi parallel at kaya magkakaroon ng punto ng i