Ang isang pares ng makatarungang anim na panig na dice ay itinapon walong ulit. Hanapin ang posibilidad na ang isang puntos na higit sa 7 ay nakapuntos ng hindi hihigit sa limang beses?

Sagot:

#~=0.9391#

Paliwanag:

Bago kami makarating sa tanong mismo, pag-usapan natin ang paraan para malutas ito.

Halimbawa, sabihin nating nais kong i-account ang lahat ng mga posibleng resulta mula sa pag-flip ng makatarungang barya ng tatlong beses. Makukuha ko ang HHH, TTT, TTH, at HHT.

Ang posibilidad ng H ay #1/2# at ang posibilidad para sa T ay din #1/2#.

Para sa HHH at para sa TTT, iyon ay # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # bawat isa.

Para sa TTH at HHT, ito rin # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # bawat isa, ngunit dahil may 3 paraan na makakakuha ako ng bawat resulta, ito ay nagtatapos # 3xx1 / 8 = 3/8 # bawat isa.

Kapag nakumpleto ko ang mga resultang ito, nakukuha ko #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - na nangangahulugang mayroon na ako ngayon ng lahat ng mga posibleng resulta ng flip ng barya para sa.

Pansinin na kung itatakda ko # H # maging # p # at samakatuwid ay mayroon # T # maging # ~ p #, at pansinin din na may linya kami mula sa Pascal's Triangle #(1,3,3,1)#, nag-set up kami ng isang anyo ng:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((p) ^ (n-k)) #

at kaya sa halimbawang ito, makakakuha tayo ng:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Ngayon ay maaari naming gawin ang problema.

Kami ay binibigyan ng bilang ng mga roll bilang 8, kaya # n = 8 #.

# p # ay ang sum na mas malaki kaysa sa 7. Upang mahanap ang posibilidad ng pagkuha ng isang kabuuan na mas malaki kaysa sa 7, tingnan natin ang mga posibleng listahan:

# ((kulay (puti) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Sa 36 posibilidad, ang 15 roll ay nagbibigay ng isang kabuuan na higit sa 36, na nagbibigay ng posibilidad ng #15/36=5/12#.

Sa # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Maaari naming isulat ang buong kabuuan ng mga posibilidad - mula sa pagkuha ng lahat ng 8 na roll na isang kabuuan na mas malaki kaysa sa 7 lahat ng paraan upang makuha ang lahat ng 8 roll na isang kabuuan ng 7 o mas mababa:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ngunit interesado kami sa pagbubuod lamang ng mga tuntuning iyon na mas malaki kaysa sa 7 sum nangyayari nang 5 beses o mas mababa:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Sagot:

#0.93906#

Paliwanag:

# "Kaya P kinalabasan> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "ito ay nangyayari k beses sa 8 throws" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomial distribution)" #

# "may" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(mga kumbinasyon)" #

# "Kaya," #

#P "ito ay nangyayari nang 5 beses sa 8 throws" #

# = 1 - P "ito ay nangyayari 6, 7, o 8 beses sa 8 throws" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#