I-convert ang lahat ng mga kumplikadong numero sa trigonometriko form at pagkatapos ay gawing simple ang expression? Isulat ang sagot sa karaniwang form.

Sagot:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

Paliwanag:

Sa isa pang sagot sa tanong na ito ako guessed nagkaroon ng isang typo sa tanong na ito at na #-3# ay dapat na # -sqrt {3} #. Nakatitiyak ako sa isang komento na hindi iyon ang kaso, na tama ang tanong na nakasulat.

Hindi ko ulitin kung paano namin tinutukoy

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

Ngunit ngayon kailangan nating i-convert # -3 + i # sa trigonometriko form. Maaari naming gawin ito, ngunit dahil hindi ito isa sa mga ginustong triangles ni Trig, ito ay mas kaunti pang mahirap.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Nasa ikalawang kuwadrante kami at ang pangunahing halaga ng kabaligtaran ay ang ikaapat na kuwadrante.

# anggulo (-3 + i) = text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)

Ang De Moivre ay hindi gumagana nang mahusay sa isang anyo tulad nito, nakukuha namin

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^

Ngunit hindi kami natigil. Sapagkat ang tagapaglarawan ay lamang #3# maaari naming gawin ito sa triple angle formula. Tawagin natin ang patuloy na anggulo na nakita natin

#theta = anggulo (-3 + i) #

Sa pamamagitan ni De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)

Alam namin

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

- 3 (-ta / sqrt (10)) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Tila tulad ng higit pa sa trabaho kaysa lamang cubing # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, gawin natin ang problema:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 {{cis} 30 ^ } #

# {({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ circ) 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ circ)} / { text {cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

Ugh, hindi ito nagtatapos. Nakukuha namin

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

# sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #