Ano ang orthocenter ng isang tatsulok na may sulok sa (9, 7), (4, 4), at (8, 6) #?

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Tatawagan namin ang mga vertex # A = (4,4) #, # B = (9,7) # at # C = (8,6) #.

Kailangan nating makahanap ng dalawang equation na patayo sa dalawang panig at dumaan sa dalawa sa mga vertex. Maaari naming mahanap ang slope ng dalawa sa mga gilid at dahil dito ang slope ng dalawa sa mga patayong linya.

Slope ng AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Ang slope ay patayo sa:

#-5/3#

Ito ay kailangang pumasa sa vertex C, kaya ang equation ng linya ay:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Slope ng BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Ang slope ay patayo sa:

#-1#

Ito ay kailangang pumasa sa vertex A, kaya ang equation ng linya ay:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Saan 1 at 2 intersect ay ang orthocenter.

Paglutas ng 1 at 2 nang sabay-sabay:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Gamit ang:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Dahil ang tatsulok ay mahina ang orthocenter ay nasa labas ng tatsulok. makikita ito kung pahabain mo ang mga linya ng altitude hanggang sa sila ay tumawid.

Sagot:

Orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Circumcenter

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Paliwanag:

Orthocenter

Given # p_1, p_2, p_3 # at

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # tulad na

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Ang mga vectors ay madaling makuha, Halimbawa

# p_1 = (x_1, y_1) # at # p_2 = (x_2, y_2) # at pagkatapos

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Ngayon kami ay may

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Ang mga tatlong linya ay bumalandra sa orthocenter ng tatsulok

Pagpili # L_1, L_2 # meron kami

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # o

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

pagbibigay ng equation

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Ngayon paglutas para sa # lambda_1, lambda_2 # meron kami

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

at pagkatapos

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Circumcenter

Ang equation ng circumference ay ibinigay ng

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

ngayon kung # {p_1, p_2, p_3} sa C # meron kami

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

subtract ang una mula sa pangalawang

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

pagbabawas ng una mula sa pangatlo

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

pagbibigay ng sistema ng equation

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 (x_1 ^ y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Ngayon ay pinapalitan ang ibinigay na mga halaga na nakukuha namin sa

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Nakalakip ang isang balangkas na nagpapakita ng orthocenter (pula) at ang circumcentercenter (asul).