Mahusay na malutas ito? tamang pagpipilian?

Ito ay madaling makita bilang hindi maaaring gawin sa pamamagitan ng elementarya paraan, kaya ko lang malutas ito ayon sa bilang at got:

Sinuri ko ang mahalaga para sa #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Sa panahong ito ay malinaw na naabot #0.5#.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

o

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Ngayon sa pag-aakala na ang isa sa mga sagot ay totoo, ang pinaka-natural ay tila ang ikaapat na 4)

TANDAAN

para sa #x sa 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Sagot:

#1/2#

Paliwanag:

Tulad ng naipakita sa isang nakaraang solusyon, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

umiiral at nakabuklod:

# 1/2 le I_n <1 #

Ngayon pagsasama ng mga bahagi ay magbubunga

# 1_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n beses (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Ngayon, dahil # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # sa #(0,1)#

# J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

(n 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Mula noon #lim_ (n sa oo) I_n # umiiral, mayroon kami

(n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) beses lim_ (n hanggang oo) I_ (n + 2) = 0 #

Kaya nga

# lim_ (n sa oo) I_n = 1/2 #