Ang tubig ng tubig sa isang sahig ay bumubuo ng isang pabilog na pool. Ang radius ng pool ay tumataas sa isang rate ng 4 cm / min. Paano mabilis ang pagtaas ng lugar ng pool kapag ang radius ay 5 cm?

Sagot:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Paliwanag:

Una, dapat naming magsimula sa isang equation na alam namin na may kaugnayan sa lugar ng isang bilog, ang pool, at radius nito:

# A = pir ^ 2 #

Gayunpaman, gusto naming makita kung gaano kabilis ang lugar ng pool ay tumataas, na kung saan ang tunog ng isang pulutong tulad ng rate … na tunog ng maraming tulad ng isang kinopyang.

Kung gagawin natin ang pinagmulan ng # A = pir ^ 2 # may kinalaman sa oras, # t #, nakikita natin na:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Huwag kalimutan na ang tuntunin ng kadena ay naaangkop sa kanang bahagi, kasama ang # r ^ 2 #- Ito ay katulad ng malinaw na pagkita ng kaibhan.)

Kaya, nais naming matukoy # (dA) / dt #. Sinabi sa amin ng tanong na iyon # (dr) / dt = 4 # kapag sinabi nito "ang radius ng pool ay tumataas sa isang rate ng #4# cm / min, "at alam din natin na gusto nating hanapin # (dA) / dt # kailan # r = 5 #. Ang pag-plug sa mga halagang ito, nakita namin na:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Upang ilagay ito sa mga salita, sinasabi namin na:

Ang lugar ng pool ay tumataas sa isang rate ng # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ min kapag ang radius ng bilog ay # bb5 # cm.

Ang altitude ng isang tatsulok ay ang pagtaas sa isang rate ng 1.5 cm / min habang ang lugar ng tatsulok ay ang pagtaas sa isang rate ng 5 square cm / min. Sa anong rate ang base ng tatsulok na pagbabago kapag ang altitude ay 9 cm at ang lugar ay 81 square cm?

Ito ay isang kaugnay na mga rate (ng pagbabago) uri ng problema. Ang mga variable ng interes ay isang = altitude A = area at, dahil ang lugar ng isang tatsulok ay A = 1 / 2ba, kailangan namin ng b = base. Ang ibinigay na mga rate ng pagbabago ay sa mga yunit ng bawat minuto, kaya ang (hindi nakikita) independiyenteng variable ay t = oras sa ilang minuto. Ibinigay sa amin: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min At hihilingin sa amin na makahanap ng (db) / dt kapag a = 9 cm at A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, nakakaiba sa paggalang sa t, makakakuha tayo ng: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Kakai

Ang tubig ay bumubuhos sa isang baluktot na korteng kono na may rate na 10,000 cm3 / min at sa parehong oras ay pinapatay ang tubig sa tangke sa isang pare-pareho ang rate Kung ang tangke ay may taas na 6m at ang diameter sa itaas ay 4 m at kung ang antas ng tubig ay tumataas sa isang rate ng 20 cm / min kapag ang taas ng tubig ay 2m, paano mo makita ang rate kung saan ang tubig ay pumped sa tangke?

Hayaan ang V ay ang dami ng tubig sa tangke, sa cm ^ 3; h maging ang lalim / taas ng tubig, sa cm; at hayaan ang radius ng ibabaw ng tubig (sa itaas), sa cm. Dahil ang tangke ay isang inverted kono, kaya ang masa ng tubig. Dahil ang tangke ay may taas na 6 m at isang radius sa tuktok ng 2 m, ang mga katulad na triangles ay nagpapahiwatig na ang frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 upang ang h = 3r. Ang dami ng inverted kono ng tubig ay pagkatapos V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ngayon, iba-iba ang magkabilang panig tungkol sa oras t (sa ilang minuto) upang makakuha ng frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt

Ang langis na natutunaw mula sa isang ruptured tanker ay kumakalat sa isang bilog sa ibabaw ng karagatan. Ang lugar ng spill ay tumataas sa isang rate ng 9π m² / min. Paano mabilis ang radius ng pagtaas ng spill kapag ang radius ay 10 m?

Dr | _ (r = 10) = 0.45m // min. Dahil ang lugar ng isang lupon ay A = pi r ^ 2, maaari naming gawin ang pagkakaiba sa bawat panig upang makuha: dA = 2pirdr Kaya ang mga radius ay nagbabago sa rate dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Kaya, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45m / min.