Ang dalawang sulok ng isang isosceles triangle ay nasa (1, 3) at (9, 4). Kung ang lugar ng tatsulok ay 64, ano ang mga haba ng gilid ng tatsulok?

Sagot:

Ang haba ng gilid ng tatsulok ay:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Paliwanag:

Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos # (x_1, y_1) # at # (x_2, y_2) # ay ibinigay sa pamamagitan ng distansya formula:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Kaya ang distansya sa pagitan # (x_1, y_1) = (1, 3) # at # (x_2, y_2) = (9, 4) # ay:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

na kung saan ay isang hindi makatwiran bilang isang maliit na mas malaki kaysa sa #8#.

Kung ang isa sa iba pang mga panig ng tatsulok ay ang parehong haba, pagkatapos ay ang maximum na posibleng lugar ng tatsulok ay magiging:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Kaya hindi na iyon ang kaso. Sa halip, ang iba pang dalawang panig ay dapat na parehong haba.

Given isang tatsulok na may panig # a = sqrt (65), b = t, c = t #, maaari naming gamitin ang formula ni Heron upang mahanap ang lugar nito.

Sinasabi sa atin ng formula ng Herons na ang lugar ng isang tatsulok na may panig #a, b, c # at semi perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # ay binigay ni:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Sa aming kaso ang semi perimeter ay:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

at ang formula ni Heron ay nagsasabi sa amin na:

# 65 = 1 / 2sqrt ((sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)

#color (puti) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multiply ang parehong dulo sa pamamagitan ng #2# upang makakuha ng:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Square magkabilang panig upang makakuha ng:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multiply magkabilang panig sa pamamagitan ng #4/65# upang makakuha ng:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

I-transpose at idagdag #65/4# sa magkabilang panig upang makakuha ng:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Kunin ang positibong square root ng magkabilang panig upang makakuha ng:

#t = sqrt (266369/260) #

Kaya ang mga haba ng gilid ng tatsulok ay:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternatibong pamamaraan

Sa halip na gamitin ang formula ni Heron, maaari naming ipaliwanag ang mga sumusunod:

Given na ang base ng isosceles tatsulok ay ang haba:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Ang lugar ay # 64 = 1/2 "base" xx "height" #

Kaya ang taas ng tatsulok ay:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Ito ang haba ng perpendikular na panggitnang guhit ng tatsulok, na pumasa sa pamamagitan ng midpoint ng base.

Kaya ang iba pang mga dalawang panig ay bumubuo ng mga hypotenuse ng dalawang tamang mga triangles na may mga binti #sqrt (65) / 2 # at # (128sqrt (65)) / 65 #

Kaya ni Pythagoras, ang bawat isa sa mga panig ay may haba:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260)