Ay sqrt21 tunay na numero, makatwirang numero, buong numero, Integer, Irrational numero?

Sagot:

Ito ay isang di-makatwirang numero at samakatuwid ay totoo.

Paliwanag:

Tayo muna mapatunayan na iyan #sqrt (21) # ay isang tunay na numero, sa katunayan, ang parisukat na ugat ng lahat ng positibong tunay na mga numero ay totoo. Kung # x # ay isang tunay na numero, pagkatapos namin tukuyin para sa positibong numero #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Nangangahulugan ito na tinitingnan namin ang lahat ng mga tunay na numero # y # tulad na # y ^ 2 <= x # at kunin ang pinakamaliit na tunay na bilang na mas malaki kaysa sa lahat ng ito # y #'s, ang tinatawag na supremum. Para sa mga negatibong numero, ang mga ito # y #'s hindi umiiral, dahil sa lahat ng mga tunay na numero, ang pagkuha ng parisukat ng bilang na ito ay nagreresulta sa isang positibong numero, at ang lahat ng mga positibong numero ay mas malaki kaysa sa mga negatibong numero.

Para sa lahat ng positibong numero, palaging may ilang # y # na akma sa kalagayan # y ^ 2 <= x #, lalo #0#. Bukod dito, mayroong isang itaas na nakatali sa mga numerong ito, katulad # x + 1 #, dahil kung # 0 <= y <1 #, pagkatapos # x + 1> y #, kung #y> = 1 #, pagkatapos #y <= y ^ 2 <= x #, kaya # x + 1> y #. Maaari naming ipakita na para sa bawat bounded walang laman hanay ng mga tunay na numero, palaging may isang natatanging tunay na numero na kumikilos bilang isang supremum, dahil sa ang tinatawag na pagkakumpleto ng # RR #. Kaya para sa lahat ng mga positibong tunay na numero # x # mayroong isang tunay na #sqrt (x) #. Maaari rin nating ipakita na sa kasong ito #sqrt (x) ^ 2 = x #, ngunit maliban kung gusto mo ako, hindi ko ito patunayan dito. Sa wakas tandaan namin iyan #sqrt (x)> = 0 #, dahil #0# ay isang numero na akma sa kondisyon, tulad ng sinabi bago.

Ngayon para sa kawalang katwiran ng #sqrt (21) #. Kung ito ay hindi makatwiran (kaya nakapangangatwiran), maaari naming isulat ito bilang #sqrt (21) = a / b # may # a # at # b # buong numero at # a / b # pinasimple hangga't maaari, nangangahulugang iyon # a # at # b # walang pangkaraniwang panghati, maliban sa #1#. Ngayon ang ibig sabihin nito # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Ngayon ginagamit namin ang isang bagay na tinatawag na ang pangunahing paktorisasyon ng natural na mga numero. Ito ay nangangahulugan na maaari naming isulat ang bawat positibong buong numero bilang isang natatanging produkto ng kalakasan numero. Para sa #21# ito ay #3*7# at para sa # a # at # b # ito ay ilang mga arbitrary na produkto ng primes # a = a_1 * … * a_n # at # b = b_1 * … * b_m #. Ang katotohanan na ang tanging karaniwang panghati ng # a # at # b # ay #1# ay katumbas ng katotohanan na # a # at # b # ibahagi ang walang primes sa kanilang factorization, kaya may # a_i # at # b_j # tulad na # a_i = b_j #. Nangangahulugan ito na # a ^ 2 # at # b ^ 2 # hindi rin nagbabahagi ng anumang primes, dahil # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # at # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., kaya ang karaniwang karaniwang panghati ng # a ^ 2 # at # b ^ 2 # ay #1#. Mula noon # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, ibig sabihin nito # b ^ 2 = 1 #, kaya # b = 1 #. Samakatuwid #sqrt (21) = a #. Tandaan na ito lamang ang humahawak sa ilalim ng palagay na iyon #sqrt (21) # ay makatuwiran.

Ngayon maaari naming siyempre patakbuhin sa pamamagitan ng lahat ng mga positibong numero mas maliit kaysa sa #21# at tingnan kung nagbibigay ito ng squaring #21#, ngunit ito ay isang paraan ng pagbubutas. Upang gawin ito sa isang mas kawili-wiling paraan, ibabalik namin muli sa aming mga primes. Alam namin iyan # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # at #21=3*7#, kaya # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Sa kaliwang bahagi, ang bawat kalakasan ay nangyayari minsan lamang, sa kanang kamay, ang bawat kalakasan ay nangyayari nang hindi bababa sa dalawang beses, at palaging isang dami ng beses (kung # a_1 = a_n # ito ay para sa instace mangyari ng hindi bababa sa apat na beses). Ngunit tulad ng sinabi namin, ang mga pangunahing mga kadahilanan na ito ay kakaiba, kaya hindi ito tama. Samakatuwid # 21nea ^ 2 #, kaya #anesqrt (21) #, ibig sabihin na ang aming naunang pag-aakala ng #sqrt (21) # pagiging makatuwiran ay lumilitaw na mali, samakatuwid #sqrt (21) # ay hindi makatwiran.

Tandaan na ang parehong argumento humahawak para sa anumang positibong buong numero # x # na may isang pangunahing paktorisasyon kung saan ang isa sa mga primes apears isang hindi pantay na bilang ng mga beses, dahil ang parisukat ng isang buong numero ay laging may lahat ng mga pangunahing kadahilanan nito apearing ng isang dami ng beses. Mula dito tinataya natin na kung # x # ay isang positibong buong numero (#x inNN #) ay isang pangunahing kadahilanan na nangyayari lamang isang hindi pantay na dami ng beses, #sqrt (x) # ay hindi makatwiran.

Alam ko na ang patunay na ito ay maaaring tila isang kaunting haba, ngunit gumagamit ito ng mga mahalagang konsepto na bumubuo sa matematika. Marahil sa anumang kurikulum sa mataas na paaralan, ang mga uri ng mga pangangatuwiran ay hindi kasama (hindi ako 100% sigurado, hindi ko alam ang kurikulum ng bawat mataas na paaralan sa mundo), ngunit para sa mga aktwal na mathematicians, ang nagpapatunay na bagay ay isa sa ang pinakamahalagang gawain nila. Kaya gusto kong ipakita sa iyo kung anong uri ng matematika ang nasa likod ng pagkuha ng square root ng mga bagay. Kung ano ang kailangan mong alisin mula rito, talaga nga #sqrt (21) # ay isang hindi makatwirang numero.