Ano ang domain at saklaw ng f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Sagot:

Ang domain ay # RR # (lahat ng mga tunay na numero) at ang hanay ay # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(lahat ng mga tunay na numero sa pagitan at kabilang # (5-sqrt (61)) / 72 # at # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Paliwanag:

Sa domain, sinisimulan namin ang lahat ng mga tunay na numero, at pagkatapos ay tanggalin ang alinman na pipilitin sa amin na magkaroon ng square root ng isang negatibong numero, o isang #0# sa denamineytor ng isang bahagi.

Sa isang sulyap, alam namin na bilang # x ^ 2> = 0 # para sa lahat ng mga tunay na numero, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Kaya ang denamineytor ay hindi magiging #0# para sa anumang tunay na numero # x #, ibig sabihin ang domain ay may kasamang bawat tunay na numero.

Para sa hanay, ang pinakamadaling paraan ng paghahanap ng mga halaga sa itaas ay nagsasangkot ng ilang pangunahing mga calculus. Kahit na mas mahaba ito, posible ring hanapin ang mga ito gamit lamang ang algebra, gayunpaman, sa pamamaraan na detalyado sa ibaba.

Simula sa pag-andar #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # nais naming mahanap ang lahat ng posibleng halaga ng #f (x) #. Katumbas ito sa paghahanap ng domain ng inverse function # f ^ -1 (x) # (isang function sa ari-arian # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Sa kasamaang palad, ang kabaligtaran ng #f (x) # sa kasong ito ay hindi isang function, habang nagbabalik ito ng 2 halaga, gayunpaman, ang ideya ay pareho pa rin. Magsisimula tayo sa equation #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # at malutas para sa # x # upang mahanap ang kabaligtaran. Susunod, titingnan natin ang mga posibleng halaga ng # y # upang mahanap ang domain ng kabaligtaran, at sa gayon ang hanay ng orihinal na function.

Paglutas para sa # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Pagpapagamot # y # bilang isang pare-pareho, inilalapat namin ang parisukat formula

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Upang makuha

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5)) / (2y) #

Kailangan namin ngayon upang mahanap ang domain ng sa itaas na expression (tandaan na ito ay hindi isang function dahil sa #+-#). Tandaan na sa pamamagitan ng paghati sa pamamagitan ng # y # sa parisukat na formula, nawalan kami ng posibilidad ng # y = 0 #, na malinaw na posible sa orihinal na equation (para sa #x = -5 #). Sa gayon ay babalewalain natin ang # y # sa denamineytor ng kabaligtaran, at tumuon lamang sa square root.

Tulad ng nabanggit dati, hindi namin pinapayagan ang parisukat na ugat ng isang halaga na mas mababa sa 0, at sa gayon ay mayroon kami ng paghihigpit

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Gamit ang parisukat formula sa # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # nakita namin, pagkatapos ng ilang pagpapagaan, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Sa wakas, maaari naming sabihin na bilang # | y | # lumalaki, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # ay mas mababa kaysa sa #0#. Kaya isaalang-alang lamang namin ang agwat sa pagitan

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # at #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Kaya ang mga pinahihintulutang halaga para sa # y #, at kaya ang hanay para sa #f (x) #, ay

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #