X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorise)?

Sagot:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

(x ^ 2 (alpha + bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2 (omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2 (omega ^ 2alpha + omegabar (alpha)) x + 2) #

tulad ng inilarawan sa ibaba …

Paliwanag:

Babala:

Ang sagot na ito ay maaaring maging mas advanced kaysa sa inaasahan mong malaman.

Mga Tala

Posible upang gawing simple at mahanap ang:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

ngunit ito ay hindi (pa) malinaw sa akin kung paano pinakamahusay na gawin ito.

Sagot:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

(x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Paliwanag:

Narito ang isang mas simpleng paraan …

Ibinigay:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Hanapin ang isang factorisation ng form:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

(alpha + beta gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alpha + beta + gamma) x + 8 #

Equating coefficients nakita namin:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Kaya #alpha, beta, gamma # ang mga zero ng kubiko:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3 (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Tandaan na ang kabuuan ng mga coefficients ng kubiko na ito ay #0#. Yan ay #1-6+5 = 0#.

Kaya nga # x = 1 # ay isang zero at # (x-1) # isang kadahilanan:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Ang mga zero ng natitirang quadratic ay matatagpuan gamit ang quadratic formula bilang:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Kaya # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2}

Kaya:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

(x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Maaari ba nating gawing pangkalahatan ang nakuha sa itaas?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

(q (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alpha + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Equating coefficients:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Kaya nga #alpha, beta, gamma # ay ang mga zero ng:

# x ^ 3-3qx-p #

Kaya kung maaari naming mahanap ang tatlong tunay na zero ng kubiko na ito, pagkatapos ay mayroon kaming ang factorisation ng sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # sa tatlong kuwadratiko na may tunay na mga coefficients.