Sagot:
# "Walang umiiral na madaling paktorisasyon dito. Tanging isang pangkalahatang paraan" #
# "para sa paglutas ng kubiko equation ay maaaring makatulong sa amin dito." #
Paliwanag:
# "Maaari kaming mag-aplay ng isang pamamaraan batay sa pagpapalit ng Vieta." #
# "Ang paghahati ng unang koepisyent ay magbubunga:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substituting" x = y + p "sa" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "ay magbubunga:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp c = 0 #
# "Kung kukuha tayo ng" 3p + a = 0 "o" p = -a / 3 ", ang unang koepisyent" # # "nagiging zero, at makakakuha tayo ng:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(na may" p = -2/3 ")" #
# "Substituting" y = qz "sa" y ^ 3 + b y + c = 0 ", magbubunga:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "kung kukuha kami" q = sqrt (| b | / 3) ", ang koepisyent ng z ay nagiging" #
# "3 o -3, at makuha namin ang:" #
# "(dito" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Substituting" z = t + 1 / t ", magbubunga:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Substituting" u = t ^ 3 ", ay nagbubunga ng parisukat na equation:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Ang mga ugat ng parisukat na equation ay mahirap unawain." #
# "Nangangahulugan ito na mayroon tayong 3 tunay na ugat sa ating kubiko na equation." #
# "Isang ugat ng parisukat na equation na ito ay" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Ang pagpapalit ng mga variable pabalik, ay magbubunga:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Ang iba pang mga ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghati at paglutas ng" # # "natitirang parisukat na equation." #
# "Ang iba pang mga ugat ay totoo: -3.87643981 at 0.61210551." #
Sagot:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
kung saan:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Paliwanag:
Ibinigay:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tandaan na ito ay mas madaling makagawa kung may isang typo sa tanong.
Halimbawa:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-kulay (pula) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + kulay (pula) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Kung tama ang kubiko sa ibinigay na form, maaari naming mahanap ang mga zero at mga salik nito tulad ng sumusunod:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus transformation
Upang gawin ang gawain ng pag-solve ng cubic simpler, ginagawa namin ang cubic na mas simple gamit ang isang linear na pagpapalit na kilala bilang Tschirnhaus transformation.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
kung saan # t = (6x + 4) #
Trigonometriko pagpapalit
Mula noon #f (x) # may #3# Ang mga tunay na zero, ang paraan at katulad ni Cardano ay magreresulta sa mga expression na kinasasangkutan ng hindi maibabawal na mga pinagmulan ng kubo ng mga kumplikadong numero. Ang aking kagustuhan sa ganitong mga sitwasyon ay ang paggamit ng isang trigonometriko pagpapalit sa halip.
Ilagay ang:
#t = k cos theta #
kung saan #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Pagkatapos:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (puti) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (white) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Kaya:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Kaya:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Kaya:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Kaya:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Aling mga givens #3# natatanging mga zero ng kubiko # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # para sa #n = 0, 1, 2 #
Pagkatapos:
#x = 1/6 (t-4) #
Kaya ang tatlong zero ng ibinigay na kubiko ay:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
may tinatayang halaga:
# x_0 ~ ~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
