X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Paano malutas ang x?

Sagot:

# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Paliwanag:

Dahil ang quartic na ito ay walang makatuwiran na mga ugat (at hindi ako ma-bothered sa mga formula), nagsisimula kami sa pamamagitan ng paggamit ng pamamaraan ni Newton upang humigit-kumulang sa mga ugat:

# x ~~ -0.303 #

# x ~~ -0.618 #

# x ~ ~ 1.618 #

# x ~ ~ 3.303 #

Sa mga ito, nalaman natin iyan # x ~~ -0.618 # at # x ~ ~ 1.618 # tumayo. Kinikilala namin ang mga ito bilang ang ginintuang ratio:

# x = (1 + -sqrt5) / 2 #

Maaari rin naming patunayan na ang mga ito ay mga ugat sa pamamagitan ng pag-plug sa mga ito sa equation, ngunit maaari mo lamang gawin ang aking salita na ang mga ito ay talagang Roots.

Nangangahulugan ito na ang sumusunod ay isang kadahilanan ng equation:

# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (x-1/2) ^ 2 (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 =

# = x ^ 2-x-1 #

Dahil, alam namin # x ^ 2-x-1 # ay isang kadahilanan, maaari naming gamitin polinomyal mahabang division upang malaman ang natitira at isulat muli ang equation tulad nito:

# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Naisip na namin kung ang kaliwang kadahilanan ay katumbas ng zero, kaya tinitingnan namin ngayon ang tama. Maaari naming malutas ang parisukat gamit ang parisukat na formula upang makakuha ng:

# x = (3 + -sqrt13) / 2 #