Ay ang pagkakasunud-sunod a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) nagtatagpo o divergent?

Sagot:

# "Tingnan ang paliwanag" #

Paliwanag:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n #

# "Tandaan na mas madali mong mailalapat ang limitasyon ni Euler dito:" #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "Kaya ang pagkakasunod-sunod ay lumalaki masyadong malaki ngunit hindi walang hanggan malaki, kaya ito" #

# "converges." #

Ang serye ba ay ipinahiwatig na ganap na nagtatagpo, pinagsama-sama, o divergent? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

Nagtatagumpay ito nang ganap. Gamitin ang pagsubok para sa lubos na tagpo. Kung gagawin natin ang lubos na halaga ng mga tuntunin na makuha natin ang serye 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Ito ay isang geometriko serye ng karaniwang ratio 1/4. Sa gayon ito ay nagtatagpo. Dahil ang parehong | a_n | converges a_n converges absolutely. Sana ay makakatulong ito!

Ang serye ba sum_ (n = 0) ^ infty1 / ((2n + 1)!) Ganap na nagtatagpo, kondisyon na nagtatagpo o magkakaiba?

"Ihambing ito sa" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Ang bawat kataga ay katumbas ng o mas maliit kaysa sa" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Lahat ng mga termino ay positibo kaya ang kabuuan ng S ng serye ay sa pagitan ng" 0 <S <e = 2.7182818 .... " nagtatagpo. "

Ipagpalagay na ang a_n ay monotone at converges at b_n = (a_n) ^ 2. Ang b_n ay kinakailangang magkatipon?

Oo. Hayaan ang l = lim_ (n -> + oo) a_n. a_n ay monotone kaya b_n ay magiging monotone rin, at lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2. Ito ay katulad ng mga pag-andar: kung ang f at g ay mayroong limitadong limitasyon sa isang, pagkatapos ang produkto f.g ay magkakaroon ng isang limitasyon sa a.