Sagot:
Nagtatagumpay ito nang ganap.
Paliwanag:
Gamitin ang pagsubok para sa lubos na tagpo. Kung gagawin natin ang lubos na halaga ng mga tuntunin na makuha natin ang serye
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Ito ay isang geometriko serye ng karaniwang ratio #1/4#. Sa gayon ito ay nagtatagpo. Dahil pareho # | a_n | # nakikipagtulungan # a_n # pinagsasama ng walang pasubali.
Sana ay makakatulong ito!
Sagot:
# "Ito ay isang simpleng geometric na serye at ito converges ganap na may" # # "sum" = 16/5 = 3.2. "#
Paliwanag:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", ibinigay na | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Dalhin" a = -1/4 ", pagkatapos ay mayroon kaming" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Ngayon ang aming serye ay apat na beses hangga't ang unang termino ay 4." #
# "Kaya ang aming serye" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Sagot:
Ang geometriko serye converges ganap, may
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Paliwanag:
Ang serye na ito ay talagang isang alternating serye; gayunpaman, ito rin ay mukhang geometriko.
Kung matutukoy natin ang karaniwang ratio na ibinahagi ng lahat ng mga termino, ang serye ay magiging sa anyo
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Saan # a # ay ang unang termino at # r # ay ang karaniwang ratio.
Kailangan nating hanapin ang kabuuan gamit ang format sa itaas.
Hatiin ang bawat termino sa pamamagitan ng termino bago ito upang matukoy ang karaniwang ratio # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Kaya, ang seryeng ito ay geometriko, na may karaniwang ratio # r = -1 / 4 #, at ang unang termino # a = 4. #
Maaari naming isulat ang serye bilang
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Tandaan na ang isang geometric na serye #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # nakakatipon sa # a / (1-r) # kung # | r | <1 #. Kaya, kung magkakasama ito, maaari rin nating makita ang eksaktong halaga nito.
Dito, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, kaya ang mga serye ay nagtatagpo:
# 1 (4/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Ngayon, alamin natin kung nagtatagumpay talaga ito.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
I-strip ang alternating negatibong termino:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Kunin ang lubos na halaga, na nagiging sanhi ng alternating negatibong termino upang mawala:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Kaya, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Nakikita namin # | r | = 1/4 <1 #, kaya nagkakaroon pa rin tayo ng convergence:
# 1 (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Ang serye ay nagtatagumpay, na may
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
