Ano ang domain at saklaw ng f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Sagot:

Domain: ang buong totoong linya

Saklaw: #-0.0757,0.826#

Paliwanag:

Ang tanong na ito ay maaaring bigyang-kahulugan sa isa sa dalawang paraan. Alinman ang inaasahan nating makitungo lamang sa tunay na linya # RR #, o iba pa sa natitirang bahagi ng kumplikadong eroplano # CC #. Ang gamit ng # x # bilang isang variable na nagpapahiwatig na kami ay pakikitungo sa mga tunay na linya lamang, ngunit may isang kagiliw-giliw na pagkakaiba sa pagitan ng dalawang mga kaso na makikita ko tandaan.

Ang domain ng # f # ay ang kabuuan ng numeric set na itinuturing na minus ang anumang mga puntos na nagiging sanhi ng function na pumutok sa kawalang-hanggan. Nangyayari ito kapag ang denamineytor # x ^ 2 + 4 = 0 #, ibig sabihin kapag # x ^ 2 = -4 #. Ang equation na ito ay walang tunay na solusyon, kaya kung nagtatrabaho tayo sa totoong linya, ang domain ay ang buong agwat # (- oo, + oo) #. Kung isaalang-alang namin ang walang katapusang mga limitasyon ng pag-andar sa pamamagitan ng paghahambing ng mga nangungunang termino sa numerator at denominador, nakita natin na sa parehong mga infinidad ito ay may gawi na zero, at sa gayon maaari naming kung nais naming idagdag ang mga ito sa agwat na ito upang isara ito: # - oo, + oo #.

Ang equation # x ^ 2 = -4 # gayunpaman ay may dalawang komplikadong solusyon, #x = + - 2i #. Kung isaalang-alang natin ang buong kumplikadong eroplano, pagkatapos ay ang domain ay ang buong eroplano na minus ang dalawang puntong ito: # CC # # {+ - 2i} #. Tulad ng mga reals, maaari naming idagdag sa kawalang-hanggan katulad kung nais namin.

Upang matukoy ang hanay ng # f # kailangan nating matuklasan ang pinakamataas at pinakamaliit na halaga nito sa domain nito. Kami ay makipag-usap lamang sa mga tuntunin ng reals ngayon, bilang pagtukoy ng isang analogue sa mga ito sa mga kumplikadong eroplano ay sa pangkalahatan ng isang iba't ibang mga uri ng problema na nangangailangan ng iba't ibang mga kasangkapan sa matematika.

Kunin ang unang hinalaw sa pamamagitan ng halagang panuntunan:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 4) ^ 2 #

Ang pag-andar # f # umabot sa alinman sa isang extremum o isang punto ng tono kapag #f '(x) = 0 #, ibig sabihin kapag # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Pinagpapalutas namin ito sa pamamagitan ng parisukat na formula:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Kaya ang pag-andar ay may dalawang gayong mga punto.

Kinikilala namin ang mga puntong ito sa pamamagitan ng pagsusuri sa kanilang mga halaga sa ikalawang nanggaling ng # f #, na kinukuha namin, muli sa pamamagitan ng halagang panuntunan:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Alam namin mula sa aming unang pagkalkula ng root na derivative na ang pangalawang termino sa numerator ay zero para sa dalawang puntong ito, tulad ng pagtatakda na sa zero ay ang equation na nalutas lang namin upang makita ang mga input na numero.

Kaya, binabanggit iyon # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Sa pagtukoy ng pag-sign ng expression na ito, tinatanong namin kung # 26> 6sqrt (13) #. Square magkabilang panig upang ihambing: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Kaya # 26-6sqrt (13) # ay positibo (at # 26 + 6sqrt (13) # kahit na higit pa).

Kaya ang tanda ng buong pananalita ay bumaba sa #bar (+) # sa harap nito, na nangangahulugang iyon # x = -3-sqrt (13) # may #f '' (x)> 0 # (at samakatuwid ay isang function minimum) at # x = -3 + sqrt (13) # may #f '' (x) <0 # (at samakatuwid ay isang maximum na function). Ang pagkakaroon ng nabanggit na ang pag-andar na may kaugaliang zero sa mga infinities, ngayon namin maunawaan ang hugis ng function na ganap.

Kaya ngayon upang makuha ang hanay, kailangan nating kalkulahin ang mga halaga ng function sa pinakamaliit at pinakamataas na puntos # x = -3 + -sqrt (13) #

Alalahanin iyan #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, at iba pa

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13) (+) 6sqrt (13)) #.

Kaya, sa ibabaw ng tunay na linya # RR # ang pag-andar #f (x) # tumatagal ng mga halaga sa saklaw # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, na kung susuriin natin nang ayon sa bilang, lumapit sa #-0.0757,0.826#, sa tatlong makabuluhang numero, nakuha sa # x # mga halaga #-6.61# at #0.606# (3 s.f.)

I-plot ang graph ng function bilang check ng katinuan:

graph {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Sagot:

Domain: #x sa RR #

Saklaw: #f (x) sa -0.075693909, + 0.825693909 kulay (puti) ("xxx") # (humigit-kumulang)

Paliwanag:

Given

#color (puti) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domain

Ang domain ang lahat ng mga halaga ng # x # para sa #f (x) # ay tinukoy.

Para sa anumang function na ipinahayag bilang isang polinomyal na hinati ng isang polinomyal, ang function ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga ng # x # kung saan ang polynomial ng panghati ay hindi katumbas ng zero. Mula noon # x ^ 2> = 0 # para sa lahat ng mga halaga ng # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # para sa lahat ng mga halaga ng # x #; yan ay #x! = 0 # para sa lahat ng mga halaga ng # x #; ang function ay tinukoy para sa lahat ng Real (# RR #) mga halaga ng # x #.

Saklaw

Ang saklaw ay medyo mas kawili-wiling upang bumuo.

Tandaan namin na kung ang isang tuloy-tuloy na function ay may limitasyon, ang derivative ng function sa mga puntos na nagreresulta sa mga limitasyon ay katumbas ng zero.

Kahit na ang ilan sa mga hakbang na ito ay maaaring walang halaga, gagana kami sa pamamagitan ng prosesong ito mula sa mga batayang prinsipyo para sa mga derivatibo.

1 Exponent Rule for Derivatives

Kung #f (x) = x ^ n # pagkatapos # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Sum Rule for Derivatives

Kung #f (x) = r (x) + s (x) # pagkatapos # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Rule ng Produkto para sa Mga Derivatibo

Kung #f (x) = g (x) * h (x) # pagkatapos (x)) / (dx) = (dg (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Chain Rule for Derivatives

Kung #f (x) = p (q (x)) # pagkatapos (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Para sa ibinigay na function #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

tandaan namin na maaaring nakasulat ito bilang #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Sa pamamagitan ng 3 alam namin

(df (x)) / (dx)) = kulay (lime) ((d (x + 3)) / (dx)) kulay (asul) (x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + kulay (asul) ((x + 3)) * kulay (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) / (dx)) #

Sa pamamagitan ng 1 kami ay may

#color (white) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

at sa pamamagitan ng 2

Kulay ng #color (white) ("XXX") (lime) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = kulay (dayap)

Sa pamamagitan ng 4 kami ay may

#color (white) ("XXX") kulay (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1) (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

at sa pamamagitan ng 1 at 2

#color (puti) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

o, pinasimple:

#color (white) ("XXXXXXXX") = kulay (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

pagbibigay sa amin

Kulay ng #color (puti) ("XXX") (pula) ((df (x)) / (dx)) = kulay (berde) 1 * kulay (asul) ((x + 4) ^ (- 1)) (kulay (asul) ((x + 3)) * kulay (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)

na maaaring pinadali bilang

#color (white) ("XXX") kulay (pula) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)

Tulad ng nabanggit (paraan likod) ito ay nangangahulugan na ang limitasyon ng mga halaga ay magaganap kapag

#color (puti) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (white) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

pagkatapos gamitin ang parisukat formula (tingnan ito up, Socratic ay nagrereklamo tungkol sa haba ng sagot na ito)

kailan

#color (white) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Sa halip na pahabain ang matinding paghihirap, ipapadala lamang namin ang mga halagang ito sa aming calculator (o spreadsheet, na kung paano ko ito ginagawa) upang makuha ang mga limitasyon:

#color (white) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

at

#color (white) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Sagot:

Ang isang mas simpleng paraan ng paghahanap ng saklaw. Ang domain ay #x sa RR #. Ang hanay ay #y sa -0.076, 0.826 #

Paliwanag:

Ang domain ay #x sa RR # bilang

#AA x sa RR #, ang denamineytor # x ^ 2 + 4> 0 #

Hayaan # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Cross multiply

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Ito ay isang parisukat equation sa # x #

May mga solusyon kung ang diskriminasyon #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Samakatuwid, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay

# y sa (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * 1) * 16)) / (32) #

#y sa (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y sa -0.076, 0.826 #

graph {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}