Ano ang hinalaw ng x ^ n?

Para sa pag-andar #f (x) = x ^ n #, dapat hindi katumbas ng 0, para sa mga dahilan na magiging malinaw. dapat ding isang integer o isang nakapangangatwiran numero (hal. isang fraction).

Ang panuntunan ay:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Sa ibang salita, "hiniram" namin ang kapangyarihan ng x at gawin itong koepisyent ng hinangong, at pagkatapos ay ibawas ang 1 mula sa kapangyarihan.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Tulad ng nabanggit ko, ang espesyal na kaso ay kung saan n = 0. Nangangahulugan ito na

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Maaari naming gamitin ang aming tuntunin at technically makuha ang tamang sagot:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Gayunpaman, sa paglaon sa subaybayan ang track, tatakbo kami sa mga komplikasyon kapag sinusubukan naming gamitin ang kabaligtaran ng panuntunang ito.

Sagot:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Sa ibaba ay ang mga proofs para sa bawat numero, ngunit ang patunay lamang para sa lahat ng integers ay gumagamit ng mga pangunahing skillset ng kahulugan ng derivatives. Ang katibayan para sa lahat ng rationals ay gumagamit ng tuntunin ng chain at para sa mga irrationals ay gumagamit ng di-malinaw na pagkita ng kaibhan.

Paliwanag:

Iyon ay sinabi, ipapakita ko ang lahat ng mga ito dito, upang maunawaan mo ang proseso. Mag-ingat na ito # ay # maging medyo matagal.

Mula sa #y = x ^ (n) #, kung #n = 0 # meron kami #y = 1 # at ang hinango ng isang pare-pareho ay alsways zero.

Kung # n # ay anumang iba pang mga positibong integer na maaari naming itapon ito sa derivative formula at gamitin ang binomial teorama upang malutas ang gulo.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n)

Saan # K_i # ay ang angkop na pare-pareho

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Paghahati nito # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Maaari naming kunin ang unang termino mula sa kabuuan

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1)

Ang pagkuha ng limitasyon, ang lahat ng iba pa ay nasa zero. Kinakalkula # K_1 # nakita natin na katumbas ito # n #, kaya

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Para sa # n # na negatibong integers ito ay isang bit mas kumplikado. Alam na # x ^ -n = 1 / x ^ b #, ganoon nga #b = -n # at samakatuwid ay positibo.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)

Dalhin ang unang termino

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1) ^ b)) #

Kunin ang limitasyon, Saan # K_1 = b #, na nagbabago na bumalik sa # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Para sa mga rational na kailangan nating gamitin ang tuntunin ng kadena. I.e.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Kaya, alam iyon # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # at pag-aakala #n = 1 / b # meron kami

# (x ^ n) ^ b = x #

Kung # b # ay kahit na, ang sagot ay teknikal # | x | # ngunit ito ay sapat na malapit para sa aming mga layunin

Kaya, gamit ang tuntunin ng kadena na mayroon kami

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1)

At huling ngunit hindi bababa sa, gamit ang di-malinaw na pagkita ng kaibhan maaari naming patunayan para sa lahat ng mga tunay na numero, kabilang ang mga hindi makatwiran.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #