Gamit ang kahulugan ng tagpo, paano mo napatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng {2 ^ -n} ay nakakatipon mula sa n = 1 hanggang infinity?

$Gamit ang kahulugan ng tagpo, paano mo napatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng {2 ^ -n} ay nakakatipon mula sa n = 1 hanggang infinity?$

Sagot:

Gamitin ang mga katangian ng pag-exponential function upang matukoy ang N tulad ng # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # sa bawat # m, n> N #

Paliwanag:

Ang kahulugan ng tagpo ay nagsasaad na ang # {a_n} # Nagtatagpo kung:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Kaya, ibinigay #epsilon> 0 # tumagal #N> log_2 (1 / epsilon) # at # m, n> N # may #m <n #

Bilang #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # kaya nga # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Ngayon bilang # 2 ^ x # ay laging positibo, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, kaya

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

At bilang # 2 ^ (- x) # ay mahigpit na bumababa at #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Ngunit:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Kaya:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

Paano mo ginagamit ang Integral Test upang matukoy ang tagpo o pagkakaiba ng serye: sum n e ^ -n mula sa n = 1 hanggang infinity?

Kumuha ng integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, na may hangganan, at tandaan na ito ay hangganan sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Samakatuwid ito ay convergent, kaya sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) ay pati na rin. Ang pormal na pahayag ng integral test ay nagsasaad na kung ang fin [0, oo) rightarrowRR ay isang decreasing function na monotone na di-negatibo. Pagkatapos ang sum sum_ (n = 0) ^ oof (n) ay nagtatagpo kung at kung ang "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx ay may wakas. (Tau, Terence. Pagtatasa ko, pangalawang edisyon Hindustan book agency 2009). Ang pahayag na ito ay maaaring mukhang medyo teknikal, ngunit ang ideya

Paano ko mahahanap ang tagpo o pagkakaiba ng seryeng ito? kabuuan mula sa 1 hanggang sa kawalang-hanggan ng 1 / n ^ lnn

Nagtitipon ito Isaalang-alang ang serye na sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, kung saan p> 1. Sa pamamagitan ng p-test, ang serye na ito ay nagtatagpo. Ngayon, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p para sa lahat ng sapat na malaki n hangga't ang p ay may halaga na may hangganan. Sa gayon, sa pamamagitan ng direct comparison test, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n converges. Sa katunayan, ang halaga ay tinatayang katumbas ng 2.2381813.

Paano mo subukan ang tagpo para sa sum (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) para sa k = 1 hanggang infinity?

Ang serye ay nagtatagumpay. Unang tala na: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 para k = 1 ... oo at (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 para k = 1 ... oo Kaya kung ang sum5 / k ^ 3 ay magkakasama kaya sum (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 dahil ito ay mas mababa kaysa sa bagong expression (at positibo). Ito ay isang p serye na may p = 3> 1. Samakatuwid ang serye ay nagtagumpay nang ganap: Tingnan ang http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html para sa higit pang impormasyon.