Paano mo subukan ang tagpo para sa sum (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) para sa k = 1 hanggang infinity?

Sagot:

Ang serye ay nagtatagumpay.

Paliwanag:

Una tandaan na:

# (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 # para sa # k = 1 … oo #

# (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 # para sa # k = 1 … oo #

Kaya nga kung # sum5 / k ^ 3 # Nakikipagtulungan ang gayon #sum (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 # dahil ito ay magiging mas mababa sa bagong ekspresyon (at positibo).

Ito ay isang p serye na may # p = 3> 1 #.

Samakatuwid ang serye ay nagtagumpay nang walang pasubali:

Tingnan ang http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html para sa higit pang impormasyon.

Gamit ang kahulugan ng tagpo, paano mo napatunayan na ang pagkakasunud-sunod ng {5+ (1 / n)} ay tumutugma sa n = 1 hanggang infinity?

Hayaan: a_n = 5 + 1 / n pagkatapos para sa anumang m, n sa NN sa n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) bilang n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n at bilang 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dahil sa anumang totoong bilang epsilon> 0, piliin ang isang integer na N> 1 / epsilon. Para sa anumang integer m, n> N mayroon kaming: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon na nagpapatunay ng kondisyon ni Cauchy para sa tagpo ng isang pagkakasunud-sunod.

Gamit ang kahulugan ng tagpo, paano mo napatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng {2 ^ -n} ay nakakatipon mula sa n = 1 hanggang infinity?

Gamitin ang mga katangian ng exponential function upang matukoy ang N tulad ng | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon para sa bawat m, n> N Ang kahulugan ng tagpo ay nagsasabi na ang {a_n} ay nagtatagpo kung: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon So, given epsilon> 0 take N> log_2 (1 / epsilon) and m, n> N with m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn) positibo, (1 2 ^ (mn)) <1, kaya 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) At bilang 2 ^ (- x) 2 ^ (- m) <2 ^ (- N

Paano mo ginagamit ang Integral Test upang matukoy ang tagpo o pagkakaiba ng serye: sum n e ^ -n mula sa n = 1 hanggang infinity?

Kumuha ng integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, na may hangganan, at tandaan na ito ay hangganan sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Samakatuwid ito ay convergent, kaya sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) ay pati na rin. Ang pormal na pahayag ng integral test ay nagsasaad na kung ang fin [0, oo) rightarrowRR ay isang decreasing function na monotone na di-negatibo. Pagkatapos ang sum sum_ (n = 0) ^ oof (n) ay nagtatagpo kung at kung ang "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx ay may wakas. (Tau, Terence. Pagtatasa ko, pangalawang edisyon Hindustan book agency 2009). Ang pahayag na ito ay maaaring mukhang medyo teknikal, ngunit ang ideya