Paano mo ginagamit ang Integral Test upang matukoy ang tagpo o pagkakaiba ng serye: sum n e ^ -n mula sa n = 1 hanggang infinity?

Sagot:

Kumuha ng mahalaga # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, na kung saan ay may hangganan, at tandaan na ito ay hangganan #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Samakatuwid ito ay convergent, kaya #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # ay din.

Paliwanag:

Ang pormal na pahayag ng integral test ay nagsasabi na kung #fin 0, oo) rightarrowRR # isang monotone na nagpapababa ng function na hindi negatibo. Pagkatapos ang kabuuan #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # ay convergent kung at kung lamang kung # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # ay may wakas. (Tau, Terence. Pagtatasa ko, pangalawang edisyon Hindustan book agency 2009).

Ang pahayag na ito ay maaaring mukhang medyo teknikal, ngunit ang ideya ay ang mga sumusunod. Ang pagkuha sa kasong ito ay ang pag-andar #f (x) = xe ^ (- x) #, tandaan namin na para sa #x> 1 #, ang function na ito ay nagpapababa. Maaari naming makita ito sa pamamagitan ng pagkuha ng mga hinangong. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, dahil #x> 1 #, kaya # (1-x) <0 # at #e ^ (- x)> 0 #.

Dahil sa ito, tandaan namin na para sa anumang #ninNN _ (> = 2) # at #x sa 1, oo) # tulad na #x <= n # meron kami #f (x)> = f (n) #. Samakatuwid #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, kaya (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# x_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # gamit ang pagsasama ng mga bahagi at iyon #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Mula noon #f (x)> = 0 #, meron kami # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, kaya #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Mula noon #f (n)> = 0 #, ang serye #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # nagtataas bilang # N # nadadagdagan. Dahil ito ay hangganan ng # 3 / e #, dapat itong magkatipon. Samakatuwid #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # nakikipagtulungan.

Upang makagawa ng mga pancake, 2 tasa ng batter r na ginagamit upang gumawa ng 5 pancake, 6 tasa ng batter r na ginagamit upang makagawa ng 15 pancake, at 8 tasa ng batter r na ginagamit upang gumawa ng 20 pancake. BAHAGI 1 [Bahagi 2 sa ibaba]?

Numero ng pancake = 2.5 xx bilang ng mga tasa ng humampas (5 "pancake") / (2 "tasa ng humampas") rarr (2.5 "pancake") / ("tasa") (15 "pancake" ng batter ") rarr (2.5" pancake ") / (" tasa ") (20" pancake ") / (" 8 tasa ng humampas ") rarr (2.5" pancake ") / "pancakes": "tasa" ay nananatiling isang pare-pareho kaya kami ay may (direktang) proporsyonal na relasyon. Ang relasyon na iyon ay kulay (puti) ("XXX") p = 2.5 xx c kung saan ang p ay ang bilang ng mga pancake at c ay ang bilang ng mga

Gamit ang kahulugan ng tagpo, paano mo napatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng {2 ^ -n} ay nakakatipon mula sa n = 1 hanggang infinity?

Gamitin ang mga katangian ng exponential function upang matukoy ang N tulad ng | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon para sa bawat m, n> N Ang kahulugan ng tagpo ay nagsasabi na ang {a_n} ay nagtatagpo kung: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon So, given epsilon> 0 take N> log_2 (1 / epsilon) and m, n> N with m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn) positibo, (1 2 ^ (mn)) <1, kaya 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) At bilang 2 ^ (- x) 2 ^ (- m) <2 ^ (- N

Paano mo subukan ang tagpo para sa sum (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) para sa k = 1 hanggang infinity?

Ang serye ay nagtatagumpay. Unang tala na: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 para k = 1 ... oo at (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 para k = 1 ... oo Kaya kung ang sum5 / k ^ 3 ay magkakasama kaya sum (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 dahil ito ay mas mababa kaysa sa bagong expression (at positibo). Ito ay isang p serye na may p = 3> 1. Samakatuwid ang serye ay nagtagumpay nang ganap: Tingnan ang http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html para sa higit pang impormasyon.