Ano ang equation ng parabola na may pokus sa (5,3) at isang directrix ng y = -12?

Sagot:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Paliwanag:

Ang kahulugan ng isang parabola ay nagsasaad na ang lahat ng mga punto sa parabola ay laging may parehong distansya sa focus at directrix.

Maaari naming ipaalam # P = (x, y) #, na kung saan ay kumakatawan sa isang pangkalahatang punto sa parabola, maaari naming ipaalam # F = (5,3) # kumakatawan sa pokus at # D = (x, -12) # kumakatawan sa pinakamalapit na punto sa directrix, ang # x # ay dahil ang pinakamalapit na punto sa directrix ay palaging tuwid down.

Maaari na ngayong i-setup ang isang equation sa mga puntong ito. Gagamitin namin ang formula ng distansya upang magawa ang mga distansya:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Maaari naming ilapat ito sa aming mga punto upang muna makuha ang distansya sa pagitan # P # at # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Pagkatapos ay gagawin namin ang distansya sa pagitan # P # at # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Dahil ang mga distansya ay dapat na katumbas sa bawat isa, maaari naming ilagay ang mga ito sa isang equation:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Dahil ang punto # P # ay sa pangkalahatang form at maaaring kumatawan sa anumang punto sa parabola, kung maaari lamang namin malutas para sa # y # sa equation, kami ay maiiwan sa isang equation na kung saan ay magbibigay sa amin ng lahat ng mga punto sa parabola, o sa ibang salita, ito ay ang equation ng parabola.

Una, kami ay parisukat sa magkabilang panig:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Pagkatapos ay maaari nating palawakin ang:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Kung ilalagay namin ang lahat sa kaliwa at mangolekta ng mga tuntunin, makakakuha kami ng:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

kung saan ay ang equation ng aming parabola.