Paano mo susuriin ang integral ng int (dt) / (t-4) ^ 2 mula 1 hanggang 5?

Sagot:

Kapalit # x = t-4 #

Ang sagot ay, kung totoong hiniling mong hanapin ang mahalaga:

#-4/3#

Kung hinahanap mo ang lugar, ito ay hindi na simpleng bagaman.

Paliwanag:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Itakda:

# t-4 = x #

Samakatuwid ang kaugalian:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

At ang mga limitasyon:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Ngayon kapalit ang mga tatlong halaga na natagpuan:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

TANDAAN: HUWAG BASAHIN ANG IYONG KUNG WALA NA HINDI NAKAKATILI PAANO MAKUHA SA LUGAR. Kahit na ito ay dapat na aktwal na kumakatawan sa lugar sa pagitan ng dalawang limitasyon at dahil palaging positibo ito, dapat ito ay positibo. Gayunpaman, ang function na ito ay hindi tuloy-tuloy sa # x = 4 # kaya ang integral na ito ay hindi kumakatawan sa lugar, kung iyon ang gusto mo. Ito ay medyo mas kumplikado.

Sagot:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Paliwanag:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Sagot:

Depende sa kung magkano ang pagsasama mo na natutunan ang "pinakamahusay" na sagot ay alinman sa: "ang integral ay hindi tinukoy" (pa) o "ang mga integral na diverges"

Paliwanag:

Kapag sinusubukan naming suriin # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, dapat nating tiyakin na ang integrand ay tinukoy sa agwat na kung saan tayo ay isinasama.

# 1 / (x-4) ^ 2 # ay hindi tinukoy sa #4#, kaya nga hindi na tinukoy sa buong pagitan #1,5#.

Maaga sa pag-aaral ng calculus, tinutukoy namin ang mahalaga sa pamamagitan ng pagsisimula sa

"Hayaan # f # tukuyin ang agwat # a, b #… '

Kaya maaga sa aming pag-aaral, ang pinakamahusay na sagot ay iyon

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# hindi nakalagay (pa?)

Pagkaraan, ipinaaabot namin ang kahulugan sa kung ano ang tinatawag na "hindi tama integrals"

Kabilang dito ang mga integral sa walang hangganang mga agwat (# (- oo, b #, # a, oo) # at # (- oo, oo) #) at mga pagitan na kung saan ang integrand ay may mga punto kung saan ito ay hindi tinukoy.

Upang (subukan) upang suriin # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, sinusuri namin ang dalawang di-wastong mga integral # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Tandaan na ang integrand ay hindi pa natukoy sa mga ito sarado pagitan.)

Ang pamamaraan ay upang palitan ang punto na kung saan ang integrand ay hindi natukoy sa pamamagitan ng isang variable, pagkatapos ay kumuha ng isang limitasyon bilang na variable na nalalapit ang numero.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Hanapin natin ang mahalaga:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Hinahanap ang limitasyon bilang # brarr4 ^ - #, nakita natin na ang limitasyon ay hindi umiiral. (Tulad ng # brarr4 ^ - #, ang halaga ng # -1 / (b-4) # ay nagdaragdag nang walang hangganan.)

Samakatuwid ang mahalaga #1,4# ay hindi umiiral kaya ang mahalaga #1,5# ay hindi umiiral.

Sinasabi namin na ang mga diverges ay mahalaga.

Tandaan

Ang ilan ay sasabihin: mayroon na tayong ngayon kahulugan ng integral, diyan ay hindi lamang mangyayari ang anumang numero na nakakatugon sa kahulugan.