Paano pumili ng dalawang numero kung saan ang kabuuan ng kanilang square root ay minimal, alam na ang produkto ng dalawang numero ay isang?

Sagot:

# x = y = sqrt (a) #

Paliwanag:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "ay minimal" #

# "Maaari kaming magtrabaho kasama ang Lagrange multiplier L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Pagkuha ng mga magbubunga:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(pagkatapos multiply sa x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Ngayon ay mayroon pa rin kami upang suriin x = 0." #

# "Ito ay imposible bilang x * y = 0 pagkatapos." #

# "Kaya mayroon kaming natatanging solusyon" #

# x = y = sqrt (a) #

Sagot:

Susubukan kong dalhin ka sa pamamagitan ng paraan ng solusyon sa ibaba.

Paliwanag:

Ano ang hinahanap natin?

Dalawang numero. Ibigay natin sa kanila ang mga pangalan, # x # at # y #.

Basahing muli ang tanong.

Gusto naming gawin ang kabuuan ng square roots minimal.

Sinasabi nito sa atin ang dalawang bagay

(1) ang parehong numero ay hindi negatibo (upang maiwasan ang mga imaginary)

(2) Interesado kami sa halaga ng # sqrtx + sqrty #

Basahing muli ang tanong.

Sinabi rin sa amin na ang produkto ng # x # at # y # ay # a #.

Sino ang pinipili # a #?

Sa pangkalahatan, kung ang isang ehersisyo ay nagsasabi ng isang bagay tungkol sa # a # o # b # o # c #, kinukuha namin ang mga bilang constants na ibinigay ng ibang tao.

Kaya maaari naming sabihin sa "ang produkto ng # x # at # y # ay #11#'

o "ang produkto ng # x # at # y # ay #124#'.

Dapat nating lutasin ang lahat ng mga ito nang sabay-sabay sa pagsasabi # xy = a # para sa ilang mga pare-pareho # a #.

Kaya, nais naming gawin # sqrtx + sqrty # bilang maliit hangga't maaari pagsunod # xy = a # para sa ilang mga pare-pareho # a #.

Mukhang isang problema sa pag-optimize at isa ito. Kaya gusto ko ang isang function ng isang variable upang i-minimize.

# sqrtx + sqrty # May dalawang variable, # x # at # y #

# xy = a # mayroon ding dalawang mga variable, # x # at # y # (Tandaan # a # ay isang pare-pareho)

Kaya #y = a / x #

Ngayon gusto naming mabawasan ang:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Hanapin ang hinango, pagkatapos ay ang kritikal na numero (s) at subukan ang mga kritikal na (mga) numero. Tapusin ang paghahanap # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Mapanganib # sqrta #

#f '(x) <0 # para sa #x <sqrta # at #f '(x)> 0 # para sa #x> sqrta #, kaya #f (sqrta) # ay isang minimum.

#x = sqrta # at #y = a / x = sqrta #

Sagot:

# 2 root (4) (a) #

Paliwanag:

Alam namin na para sa #x_i> 0 # meron kami

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

pagkatapos

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # pagkatapos

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

ngunit # x_1x_2 = a # pagkatapos

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #