Ano ang pagpapalawak ng Taylor ng e ^ (- 2x) na nakasentro sa x = 0?

Sagot:

# n ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Paliwanag:

Ang kaso ng isang taylor series pinalawak sa paligid #0# ay tinatawag na serye ng Maclaurin. Ang pangkalahatang pormula para sa serye ng Maclaurin ay:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Upang mag-ehersisyo ang isang serye para sa aming pag-andar maaari naming magsimula sa isang function para sa # e ^ x # at pagkatapos ay gamitin na upang malaman ang isang formula para sa #e ^ (- 2x) #.

Upang makagawa ng serye ng Maclaurin, kailangan naming malaman ang nth na nanggaling ng # e ^ x #. Kung kumuha kami ng ilang mga derivatives, maaari naming lubos na makita ang isang pattern:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

Sa katunayan, ang nth derivative ng # e ^ x # ay makatarungan # e ^ x #. Maaari naming plug ito sa formula ng Maclaurin:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Ngayon na mayroon kami ng serye para sa taylor # e ^ x #, mapapalitan lang natin ang lahat # x #may kasama # -2x # upang makakuha ng isang serye para sa #e ^ (- 2x) #:

# n ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n! = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … =

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

na kung saan ay ang serye na aming hinahanap.