Paano mo mahanap ang ikatlong antas Taylor polinomyal para sa f (x) = ln x, nakasentro sa a = 2?

Sagot:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Paliwanag:

Ang pangkalahatang anyo ng pagpapalawak ng Taylor ay nakasentro sa # a # ng isang analytical function # f # ay #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Dito #f ^ ((n)) # ay ang n derivative ng # f #.

Ang ikatlong antas na polynomial ng Taylor ay isang polinomyal na binubuo ng unang apat (# n # mula sa #0# sa #3#) mga tuntunin ng buong pagpapalawak ng Taylor.

Samakatuwid ito polinomyal ay # f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' ''.

#f (x) = ln (x) #, samakatuwid #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Kaya ang ikatlong antas ng Taylor polinomyal ay:

(x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Ngayon kami ay may # a = 2 #, kaya't mayroon tayong polinomyal:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.