Kalkulahin ang sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Sagot:

Telescoping Series 1

Paliwanag:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)

Ito ay isang serye ng collapsing (telescoping).

Ang unang termino nito ay

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Katumbas ito

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Ipakita na 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), para sa n> 1?

Sa ibaba Upang ipakita na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, gumamit ka ng mathematical induction 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) para sa n> 1 Hakbang 1: Patunayan ang totoo para sa n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Dahil 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, pagkatapos ay LHS> RHS. Samakatuwid, ito ay totoo para sa n = 2 Hakbang 2: Ipagpalagay na totoo para sa n = k kung saan k ay isang integer at k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Hakbang 3: Kapag n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ..

Ang haba ng gilid ng isang matinding tatsulok ay sqrtn, sqrt (n + 1), at sqrt (n + 2). Paano mo nahanap ang n?

Kung ang tatsulok ay isang tatsulok na tama, ang parisukat ng pinakamalaking bahagi ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mas maliliit na panig. Ngunit ang tatsulok ay talamak na angled isa. Kaya ang parisukat ng pinakamalaking panig ay mas mababa sa kabuuan ng mga parisukat ng mas maliliit na panig. Kaya (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1