Ipakita na 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), para sa n> 1?

Sagot:

Nasa ibaba

Paliwanag:

Upang maipakita na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, gumamit ka ng matematikal na induksiyon

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # para sa #n> 1 #

Hakbang 1: Patunayan ang totoo para sa # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Mula noon # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, pagkatapos #LHS> RHS #. Samakatuwid, ito ay totoo para sa # n = 2 #

Hakbang 2: Ipagpalagay na totoo # n = k # kung saan ang k ay isang integer at #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Hakbang 3: Kailan # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

ibig sabihin # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # mula sa (1) sa pamamagitan ng palagay

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Mula noon #k> 1 #, pagkatapos # -1 / sqrt (k + 1) <0 # at mula noon # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, pagkatapos # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # kaya nga # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Hakbang 4: Sa pamamagitan ng patunay ng matematikal na induksiyon, ang hindi pagkakapareho na ito ay totoo para sa lahat ng integer # n # mahigit sa #1#

Ang pagkakapantay-pantay na ipinahayag ay hindi totoo.

Halimbawa, para sa #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (approx 2.3) cancel (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (approx 2.8) #

Isang pagkakasalungatan.