Paano mo isama ang f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) gamit ang mga partial fractions?

Sagot:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)

Paliwanag:

Dahil ang denamineytor ay nakatuon na, ang kailangan nating gawin ang mga bahagyang fractions ay malutas para sa mga constants:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Tandaan na kailangan namin ang parehong isang # x # at isang pare-pareho na termino sa kaliwang pinaka-maliit na bahagi dahil ang numerator ay laging 1 grado na mas mababa kaysa sa denamineytor.

Maaari tayong dumami sa pamamagitan ng denamineytor sa kaliwang bahagi, ngunit iyan ay magiging isang malaking halaga ng trabaho, upang maaari nating maging matalino at gamitin ang paraan ng pagsasara.

Hindi ko mapapatawad ang proseso sa detalyado, ngunit mahalagang kung ano ang ginagawa namin ay alamin kung bakit ang denamineytor ay pantay na zero (sa kaso ng # C # ito ay # x = 3 #), at plugging ito sa kaliwang bahagi at suriin habang saklaw ang mga kadahilanan na naaayon sa pare-pareho ito ay nagbibigay ng:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (text (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Maaari naming gawin ang parehong para sa # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (text (////))) = 35/51 #

Gumagana lamang ang cover-up na pamamaraan para sa linear na mga kadahilanan, kaya napipilitan kaming malutas para sa # A # at # B # gamit ang tradisyunal na pamamaraan at pagpaparami sa pamamagitan ng denamineytor ng kaliwang bahagi:

# X ^ 2 -x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Kung magpaparami tayo sa lahat ng panaklong at i-equate ang lahat ng mga coefficients ng iba't ibang # x # at pare-pareho ang mga tuntunin, maaari naming malaman ang mga halaga ng # A # at # B #. Ito ay isang napakahabang pagkalkula, kaya bibigyan ko lamang ng isang link para sa sinumang interesado:

pindutin dito

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Ibinibigay nito na ang aming integral ay:

- (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Ang unang dalawa ay maaaring malutas gamit ang halip simpleng mga u-pamalit ng mga denamineytor:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Maaari naming hatiin ang natitirang integral sa dalawa:

(x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Tatawagan ko ang kaliwang isa na Integral 1 at ang tamang isa na Integral 2.

Integral 1

Maaari naming malutas ang integral sa pamamagitan ng isang u-pagpapalit ng # u = x ^ 2 + 2 #. Ang hinango ay # 2x #, kaya hinati namin # 2x # upang isama ang may paggalang sa # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Gusto naming makuha ang mahalagang bahagi sa form na ito # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Kung ipinakilala namin ang isang pagpapalit sa # x = sqrt2u #, mababago natin ang ating integral sa pormang ito. Upang pagsamahin ang may paggalang sa # u #, dapat tayong dumami # sqrt2 # (dahil kinuha namin ang hinangong na may paggalang sa # u # sa halip ng # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Pagkumpleto ng orihinal na integral

Ngayon na alam namin kung ano ang Integral 1 at Integral 2 ay katumbas ng, maaari naming kumpletuhin ang orihinal na kabuuan upang makuha ang aming pangwakas na sagot:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)