Ano ang root ng kubo ng (sqrt3 -i)?

Magsisimula ako sa pamamagitan ng pag-convert ng numero sa trigonometrikong anyo:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isinam (-pi / 6) #

Ang root na kubo ng numerong ito ay maaaring nakasulat bilang:

# z ^ (1/3) #

Ngayon sa isip na ito ginagamit ko ang formula para sa nth kapangyarihan ng isang kumplikadong numero sa trigonometriko form:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # pagbibigay:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isinama (-pi / 6 * 1/3) =

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isinama (-pi / 18) #

Alin sa hugis-parihaba ay: # 4.2-0.7i #

Hindi ako lubos na sumasang-ayon sa sagot ni Gió, dahil hindi ito kumpleto at din (pormal) na mali.

Ang pormal na error ay nasa paggamit ng Ang formula ni De Moivre na may mga di-integer exponents. Ang formula ni De Moivre ay maaaring mailapat sa mga exponent ng integer lamang. Higit pang mga detalye tungkol dito sa pahina ng Wikipedia

May makikita kang isang bahagyang extension ng formula, upang harapin # n #-sa mga ugat (ito ay nagsasangkot ng isang sobrang-parameter # k #): kung # z = r (cos theta + i sin theta) #, pagkatapos

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + sin ((theta + 2 k pi) / n) kung saan # k = 0, …, n-1 #.

Isa (at sa ilang mga kahulugan ang) tunay pangunahing ari-arian ng mga kumplikadong mga numero ay na # n #Ang mga pinagmulan ay … # n # mga ugat (mga solusyon)! Ang parameter # k # (na nag-iiba sa pagitan #0# at # n-1 #, kaya # n # mga halaga) ay nagbibigay-daan sa amin na ibuod ang mga ito sa isang solong formula.

Kaya ang mga pinagmumulan ng kubo ay may tatlong solusyon at ang paghahanap lamang ng isa sa kanila ay hindi sapat: ito ay "#1/3# ng solusyon ".

Isusulat ko ang aking solusyon-panukala sa ibaba. Mga komento ay maligayang pagdating!

Habang tama ang iminungkahi ni Gió, ang unang hakbang ay nagpapahayag # z = sqrt {3} -i # sa kanyang trigonometriko form #r (cos theta + i sin theta) #. Kapag ang pakikitungo sa mga ugat, ang trigonometriko form ay (halos) palaging isang kapaki-pakinabang na tool (kasama ang exponential isa). Nakuha mo:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Kaya # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Ngayon gusto mong kalkulahin ang mga ugat. Sa pamamagitan ng pormula na iniulat sa itaas, makakakuha tayo ng:

(z) {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3) 3} (cos ((-pi / 6 + 2k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2k pi) / 3)) #

kung saan # k = 0, 1, 2 #. Kaya may tatlong magkakaibang halaga # k # (#0#, #1# at #2#) na nagsisilang sa tatlong magkakaibang kumplikadong ugat ng # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + ako kasalanan (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + ako kasalanan (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + ako kasalanan (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # at # z_2 # ang tatlong solusyon.

Ang geometriko interpretasyon ng formula para sa # n # Ang mga ugat ay lubhang kapaki-pakinabang upang makuha ang mga solusyon sa kumplikadong eroplano. Gayundin ang balangkas ay tumutukoy sa mga katangian ng formula.

Una sa lahat, mapapansin natin na ang lahat ng mga solusyon ay may parehong distansya # r ^ {1 / n} # (sa aming halimbawa #2^{1/3}#) mula sa pinagmulan. Kaya lahat sila ay namamalagi sa isang circumference ng radius # r ^ {1 / n} #. Ngayon kailangan nating ituro kung saan upang ilagay ang mga ito sa circumference na ito. Maaari naming muling isulat ang mga argumento ng sine at cosine sa sumusunod na paraan:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)

Ang "unang" ugat ay tumutugma sa # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Ang lahat ng iba pang mga ugat ay maaaring makuha mula sa ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng anggulo # (2pi) / n # recursively sa anggulo # theta / n # kaugnay sa unang ugat # z_0 #. Kaya kami ay gumagalaw # z_0 # sa circumference sa pamamagitan ng isang pag-ikot ng # (2pi) / n # radians (# (360 °) / n #). Kaya ang mga punto ay matatagpuan sa mga vertex ng isang regular # n #-gon. Dahil sa isa sa mga ito, maaari naming mahanap ang iba.

Sa kaso natin:

kung saan ang asul na anggulo ay # theta / n = -pi / 18 # at ang kulay pula ay # (2pi) / n = 2/3 pi #.