Ano ang equation ng parabola na may pokus sa (-15, -19) at isang directrix ng y = -8?

Sagot:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Paliwanag:

Dahil ang directrix ay isang pahalang na linya, alam namin na ang parabola ay naka-orient na patayo (nagbukas alinman pataas o pababa). Dahil ang y coordinate ng focus (-19) sa ibaba ng directrix (-8), alam namin na ang parabola ay bubukas. Ang vertex form ng equation para sa ganitong uri ng parabola ay:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Kung saan ang h ay ang x coordinate ng vertex, k ang y coordinated ng vertex, at ang focal distance, f, ay ang kalahati ng nilagdaang distansya mula sa directrix sa pokus:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Ang y coordinate ng vertex, k, ay f plus ang y coordinate ng directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Ang x coordinate ng vertex, h, ay kapareho ng x coordinate ng pokus:

#h = -15 #

Substituting ang mga halagang ito sa equation 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Pinadadali ng kaunti:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Sagot:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Paliwanag:

Parabola ay ang lokus ng isang punto, na gumagalaw upang ang layo nito mula sa isang linya, na tinatawag na directix, at isang punto, na tinatawag na pokus, ay pantay.

Alam namin na ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos # (x_1, y_1) # at # x_2, y_2) # ay binigay ni #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # at

ang distansya sa pagitan ng punto # (x_1, y_1) # at linya # palakol + sa pamamagitan ng c = 0 # ay # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Ngayon layo ng isang punto # (x, y) # sa parabola mula sa focus sa #(-15,-19)# ay #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

at ang distansya nito mula sa directrix # y = -8 # o # y + 8 = 0 # ay # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Kaya, ang equation ng parabola ay magiging

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # o

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # o

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # o

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

graph {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}