Paano mo nahanap ang absolute maximum at absolute minimum na halaga ng f sa ibinigay na agwat: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) sa [-1, 5]?

Sagot:

Reqd. ang matinding halaga ay # -25 / 2 at 25/2 #.

Paliwanag:

Ginagamit namin ang pagpapalit # t = 5sinx, t sa -1,5 #.

Obserbahan na ang pagpapalit na ito ay pinapayagan, dahil, # t sa -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, na nagtataglay ng mabuti, bilang hanay ng # sin # masaya. ay #-1,1#.

Ngayon, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Dahil, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Samakatuwid, reqd. ang mga paa't kamay ay # -25 / 2 at 25/2 #.

Sagot:

Hanapin ang monotony ng pag-andar mula sa pag-sign ng derivatibo at ipasiya kung aling mga lokal na maximum / minimum ang pinakamalaking, pinakamaliit.

Ang absolute maximum ay:

#f (3.536) = 12.5 #

Ang absolute minimum ay:

#f (-1) = - 4.899 #

Paliwanag:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Ang hinango ng pag-andar:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2)

• Ang numerator ay may dalawang solusyon:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Samakatuwid, ang numerator ay:

  Negatibong para sa #t sa (-oo, -3.536) uu (3.536, oo) #

  Positibo para sa #t sa (-3.536,3.536) #

• Ang denamineytor ay palaging positibo sa # RR #, dahil ito ay isang square root.

  Sa wakas, ang saklaw na ibinigay ay #-1,5#

Samakatuwid, ang nanggagaling sa function ay:

- Negatibo para sa #t sa -1,3.536) #

- Positibo para sa #t in (3.536,5) #

Nangangahulugan ito na ang unang graph ay napupunta mula sa #f (-1) # sa #f (3.536) # at pagkatapos ay bumaba sa #f (5) #. Ginagawa nitong #f (3.536) # ang absolute maximum at ang pinakamalaking halaga ng #f (-1) # at #f (5) # ang absolute minimum.

Ang absolute maximum ay #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Para sa ganap na maximum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Samakatuwid, #f (-1) = - 4.899 # ang absolute minimum.

Maaari mong makita mula sa graph sa ibaba na ito ay totoo. Huwag pansinin ang natitirang bahagi ng lugar #-1# dahil wala sa domain:

graph {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}